Решить иррациональное уравнение

Несложно заметить, что выражения под знаками корней можно записать в виде квадратов двучленов, после чего осуществить переход к модулям с использованием известного нам свойства корней . Итак, попробуем провести решение иррационального уравнения через переход к модулям:

Заметим, что проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями уравнения, так что полученное уравнение равносильно исходному. Решим это уравнение с модулями.

Нулями выражений под знаками модулей, очевидно, являются числа 2 и 3. Эти числа разбивают ОДЗ для уравнения, которым является множество всех действительных чисел, на три промежутка: (-∞, 2], (2, 3], (3, +∞). Решим уравнение на каждом из этих промежутков:

Таким образом, решением уравнения является число 2 и числовой промежуток (2, 3], то есть, числовой отрезок [2, 3]. А так как решаемое иррациональное уравнение равносильно решенному уравнению с модулями, то оно имеет то же решение – отрезок [2, 3].

Заметим, что решение этого уравнения другими методами проходит не так гладко. Рекомендуем ознакомиться, к чему приводят попытки решения этого уравнения методом возведения обеих частей уравнения в квадрат и через определение корня.

[2, 3].