Решите уравнение

В левой части иррационального уравнения находится дробь, в правой – нуль, значит, нам нужно решить иррациональное уравнение «дробь равна нулю». Известно, что уравнение вида «дробь равна нулю» на ОДЗ равносильно уравнению «числитель дроби равен нулю». В связи с этим существует два основных подхода к их решению:

• Первый – найти ОДЗ, приравнять числитель дроби к нулю, решить это уравнение, и взять корни, принадлежащие ОДЗ.
• Второй – приравнять к нулю числитель, решить это уравнение, и выполнить проверку найденных корней.

К первому подходу резонно прибегать тогда, когда ОДЗ находится легко, а уравнение «числитель равен нулю» - сложное. Если же ОДЗ найти сложно, то обычно лучше начинать с приравнивания числителя к нулю и решения этого уравнения, а проверку найденных корней в этом случае проводить путем подстановки в исходное уравнение или по условиям ОДЗ.

С чего лучше начать решение в нашем случае: с нахождения ОДЗ или с решения уравнения «числитель равен нулю»? Очевидно, с приравнивания к нулю числителя и решения этого уравнения, ведь в нашем случае это довольно простое иррациональное уравнение . А найти ОДЗ для исходного уравнения в нашем случае сложно, ведь ее определяют условия , предпоследнее из которых представляет собой иррациональное неравенство, а решение иррациональных неравенств обычно является непростым мероприятием.

Итак, начинаем с решения иррационального уравнения . Решим его методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, предварительно уединив радикал:

Мы решили уравнение «числитель равен нулю», оно имеет два корня x₁=2 и x₂=3. Остается проверить, являются ли они корнями исходного уравнения вида «дробь равна нулю». Покажем два способа проверки: путем подстановки в знаменатель исходного уравнения и через условия ОДЗ.

Проверка путем подстановки в знаменатель исходного уравнения.

Проверка через условия ОДЗ (их мы записали выше )

Таким образом, уравнение , имеющее вид «дробь равна нулю», имеет единственный корень 3.

3.