Решите иррациональное уравнение

Нам нужно решить иррациональное уравнение вида «дробь равна нулю», то есть, вида f(x)/g(x)=0, где f(x)/g(x) – иррациональное выражение. Известно, что на ОДЗ такое уравнение равносильно уравнению «числитель равен нулю», то есть, уравнению f(x)=0. Из этого вытекают два подхода к решению:

• Найти ОДЗ, решить уравнение f(x)=0 и взять корни, принадлежащие ОДЗ переменной x для исходного уравнения.
• Сначала решить уравнение f(x)=0 и выполнить проверку найденных корней.

Понятно, что начинать с нахождения ОДЗ есть смысл тогда, когда ОДЗ находится довольно просто, а решение уравнения f(x)=0 довольно сложное или объемное (если повезет и исходное иррациональное уравнение решается через ОДЗ, то вообще не придется решать уравнение f(x)=0). В противном случае лучше начинать с решения уравнения f(x)=0, и найденные корни проверять через подстановку или по условиям ОДЗ (что позволит избежать мучений, связанных с нахождением ОДЗ).

Несложно увидеть, что в нашем случае найти ОДЗ довольно просто, а уравнение f(x)=0 не самое легкое в решении. Так что есть смысл начинать решение с нахождения ОДЗ:

Второе неравенство можно исключить из системы, так как сумма двух корней и пятерки есть положительное число. Также можно исключить и пятое неравенство, так как сумма корня и единицы есть число положительное. Таким образом,

Итак, область допустимых значений переменной x для исходного уравнения есть множество, состоящее из одного единственного числа 4. Это означает, что исходное иррациональное уравнение может быть решено через ОДЗ. Есть смысл пойти именно таким путем, а не продолжать решение стандартным способом решения уравнений вида «дробь равна нулю», это позволит обойтись без решения уравнения .

Так как 4 – это единственное составляющее ОДЗ число, то 4 – либо единственный корень решаемого уравнения, либо уравнение вообще не имеет корней. Чтобы выяснить это, осуществим проверку подстановкой. Имеем

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то 4 – корень уравнения, а выше мы обосновали его единственность.

Понятно, что исходное уравнение можно было решить иначе. Можно было решить уравнение , найти его единственный корень 4, и через проверку показать, что это число является корнем исходного уравнения. Однако такое решение вышло бы объемнее решения через ОДЗ.

4.