Решить иррациональное уравнение методом оценки

Мы уже решали это уравнение через введение двух переменных. Теперь проведем решение иррационального уравнения методом оценки.

Наше иррациональное уравнение имеет вид f(x)=C, где и C=2. По методу оценки для решения уравнений такого вида нам требуется оценить значения функции f и на базе полученной оценки либо делать вывод об отсутствии корней, либо переходить к равносильной системе уравнений.

Оценим значения функции. В нашем случае очевидная оценка ничего не дает, так как в правой части уравнения находится двойка. Значит, нам нужна более точная оценка. Для ее получения придется найти наибольшее и наименьшее значение функции через производную. Сделаем это.

Во-первых, находим область определения функции:

Во-вторых, находим производную функции:

Заметим, что производная определена в интервале (−15, 1).

В-третьих, находим нули производной. Для этого решаем уравнение . Это уравнение вида дробь равна нулю. Оно на ОДЗ (в данном случае это интервал −15<x<1) равносильно уравнению , которое можно переписать в виде . Это иррациональное уравнение на интервале (−15, 1) равносильно уравнению (1−x)³=(15+x)³, которое в свою очередь равносильно уравнению 1−x=15+x, откуда находим x=−7. Это единственный нуль производной. Он принадлежит интервалу (−15, 1), тем самым разбивает указанный интервал на два промежутка.

В-четвертых, определяем знаки производной на этих промежутках, по которым определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков и вычислим в них значения производной, знаки полученных значений производной укажут знаки на соответствующих промежутках. Для удобства проведения вычислений возьмем x=−14 и x=0. Для этих значений имеем

и

Следовательно, функция f возрастает на отрезке [−15, −7] и убывает на отрезке [−7, 1].

Проведенные исследования позволяют нам на последнем пятом шаге найти наибольшее и наименьшее значение функции. Наибольшего значения функция достигает при x=−7, вычислим это значение: . Полученное значение не позволяет продвинуться в решении нашего уравнения, так что будем определять и наименьшее значение функции f. Из проведенных выше исследований вытекает, что функция f достигает наименьшего значения в одной из граничных точек ее области определения или в них обоих. Так что вычислим значения функции f в точках x=−15 и x=1: и . Отсюда можно сделать вывод, что наименьшее значение функции f равно двум, и оно достигается в двух точках x=−15 и x=1. А это нам позволяет утверждать, что иррациональное уравнение имеет два корня x=−15 и x=1.

−15, 1.