Решите уравнение

Перед нами иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). Определимся с методом решения иррационального уравнения. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень не способствует избавлению от корней, так что этот метод отметаем. Может, нужно решать уравнение методом введения новой переменной? Такая возможность не просматривается. Может, провести какие-нибудь преобразования уравнения? Видна возможность поработать разве что с квадратным трехчленом под корнем четвертой степени. Квадратный трехчлен x²−4·x+20 корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный. Из этого вытекают два вывода: первый - в произведение линейных двучленов мы его не разложим, и второй – все значения квадратного трехчлена положительны. Что еще с ним можно сделать? Например, выделить полный квадрат: x²−4·x+20=(x−2)²+16. Но все это сильно не приближает нас к решению. Что остается делать? Находить ОДЗ, и если это не позволит сразу сделать вывод о корнях уравнения, то обращаться к функционально-графическому методу решения уравнения.

Начнем с нахождения ОДЗ:

По найденной области сразу не получается сделать вывод о корнях уравнения, значит, обращаемся к функционально-графическому методу. Рассмотрим функции f и g, отвечающие соответственно левой и правой части иррационального уравнения . Строить графики этих функций довольно сложно, поэтому откажемся от этого в пользу исследования этих функций на ОДЗ переменной x для исходного уравнения, то есть, на отрезке от −7 до 11. Проводить полное исследование функций нам не обязательно, нас в рамках функционально-графического метода решения уравнений интересуют промежутки возрастания и убывания, и, если этого окажется недостаточно, наибольшие и наименьшие значения функций. Определим их.

, если . Это уравнение вида дробь равна нулю. На интервале (−7, 11) это уравнение равносильно иррациональному уравнению , которое равносильно уравнению , а оно в свою очередь равносильно уравнению 11−x=x+7, для которого находим x=2.

Найденный нуль производной принадлежит интервалу (−7, 11) и разбивает этот интервал на два промежутка. Определим знаки производной в этих промежутках. Для этого возьмем по одной точке из интервалов (−7, 2) и (2, 11) и вычислим значения производной, знаки этих значений дадут знаки производной на соответствующих интервалах. Возьмем x=−6 и x=10:

Таким образом, значения производной функции f на интервале (−7, 2) – положительные, а на интервале (2, 11) – отрицательные, следовательно, функция f возрастает на промежутке [−7, 2], а на промежутке [2, 11] – убывает.

Определим наибольшее и наименьшее значение функции f на отрезке [−7, 11]. Из предыдущих исследований ясно, что точкой максимума функции является x=2, так что наибольшего значения функция f на отрезке [−7, 11] достигает при x=2, так что . Чтобы определить наименьшее значение функции на указанном отрезке надо вычислить значения функции в концах отрезка: и . Таким образом, .

Теперь обращаемся в функции g (). Для определения ее промежутков возрастания и убывания, а также наибольшего и наименьшего значений на отрезке [−7,11] не обязательно обращаться к производной, можно опереться на известные свойства параболы и свойство монотонности функции корня. Определим координаты вершины параболы, отвечающей квадратному трехчлену x²−4·x+20, имеем , . Значит, функции y=x²−4·x+20 убывает на отрезке [−7, 2] и возрастает на отрезке [2, 11], при этом все значения этой функции положительные. Из этого и из того, что корень из большего числа есть большее число, вытекает, что функция имеет те же промежутки возрастания и убывания. А так как положительный числовой коэффициент не влияет на промежутки возрастания и убывания функции, то убывает на отрезке [−7, 2] и возрастает на отрезке [2, 11].

Отсюда следует, что x=2 – точка минимума функции g, вычислим соответствующий минимум: . Это значение очень удачное, оно позволяет обойтись без нахождения наибольшего значения функции g, так как уже позволяет двигаться дальше в решении уравнения. Действительно, мы только что выяснили, что наименьшее значение функции g равно 6. А выше мы выяснили, что наибольшее значение функции f равно 6. Отсюда следует, что равенство f(x)=g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x)=6 и g(x)=6 (при необходимости смотрите метод оценки). Это условие выполняется в единственной точке x=2: значение функции f равно шести в единственной точке x=2 и значение функции g равно шести тоже в единственной точке x=2. Значит, 2 - это единственный корень иррационального уравнения .

2.