Пример

Решить методом оценки иррациональное уравнение

Решение

Нам нужно решить иррациональное уравнение методом оценки. Решение по методу оценки проводится в два этапа:

  • на первом этапе оцениваются значения функций (или выражений), соответствующих левой и правой части уравнения,
  • на втором этапе используется утверждение, соответствующее полученным оценкам, которое позволяет сделать вывод об отсутствии корней уравнения или перейти от исходного уравнения к равносильной системе.

Итак, первой по нашему плану идет оценка значений выражений и , соответствующих левой и правой части исходного иррационального уравнения. Будем действовать последовательно, сначала оценим значения выражения f(x), затем g(x).

Получение оценки значений выражения f(x) начнем с оценивания значений каждого из трех составляющих его корней.

Первым идет корень . Квадратному трехчлену x2−4·x+13 отвечает парабола, ветви которой направлены вверх и вершина которой имеет координаты , . Отсюда следует, что x2−4·x+13≥9. (Такую же оценку позволяет получить представление квадратного трехчлена x2−4·x+13 в виде (x−2)2+9, где (x−2)2≥0, так как квадрат любого числа есть число неотрицательное, откуда в силу одного из свойств верных числовых равенств следует, что (x−2)2+9≥9). Теперь вспоминаем одно из свойств корней, которое утверждает, что корень из большего числа есть большее число, которое в купе с только что полученной оценкой x2−4·x+13≥9 позволяет утверждать, что , откуда имеем .

Переходим к оценке второго корня . Нам известно, что четная степень любого числа есть неотрицательное число, поэтому, (x−2)4≥0. Из того, что к обеим частям верного числового равенства можно прибавлять одинаковые числа, заключаем, следует, что (x−2)4+8≥8. А из уже упомянутого в предыдущем пункте свойства корней вытекает, что , то есть, .

Аналогично оцениваем третий корень :

Мы получили три оценки: , , и . Из двух последних оценок и свойства умножения верных числовых равенств следует, что и дальше . Из этого неравенства и того, что умножение обеих частей верного числового неравенства на положительное число дает верное числовое неравенство того же смысла, следует оценка и дальше . Наконец, из оценок и , а также из свойства сложения верных числовых неравенств следует, что и дальше . Так мы оценили значения выражения f(x), имеем f(x)≥9.

Переходим к оценке значений выражения . Оценку, как и для выражения f(x), тоже будем собирать по кусочкам:

  • (x−2)2≥0, что следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из оценки и из того, что прибавление одного и того же числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство того же смысла, следует, что (x−2)2+3≥3. Дальше из этой оценки и свойства возведения в натуральную степень верных числовых равенств следует, что ((x−2)2+3)2≥32, то есть, ((x−2)2+3)2≥9.
  • Аналогично, (x−2)6≥0, откуда (x−2)6+2≥2.
  • Результаты двух предыдущих пунктов ((x−2)2+3)2≥9 и (x−2)6+2≥2 позволяют заключить, что (((x−2)2+3)2)·((x−2)6+2)≥9·2, то есть, (((x−2)2+3)2)·((x−2)6+2)≥18. Вычитание двойки из обеих частей последнего неравенства приводит нас к оценке (((x−2)2+3)2)·((x−2)6+2)−2≥16. А из этого неравенства и возрастания функции извлечения квадратного корня следует, что и дальше .
  • Теперь обращается к такому свойству числовых неравенств: если a и b – положительные числа и a≥b, то 1/a≤1/b. Из этого свойства и из оценки , полученной в предыдущем пункте, следует, что .
  • Тогда в силу свойства умножения на положительное число обеих частей верного числового неравенства имеем , то есть, .
  • Наконец, прибавление шестерки к обеим частям неравенства дает нам оценку значений функции g(x), имеем , дальше , то есть, g(x)≤9.

Так мы оценили левую и правую части решаемого иррационального уравнения, получили f(x)≥9, g(x)≤9. Заметим, что эти оценки справедливы для любого x из ОДЗ переменной x для исходного уравнения (в нашем случае ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел). Переходим ко второму этапу метода оценки.

Выбираем утверждение, подходящее под полученные оценки, для определения дальнейшего хода решения. Так как в нашем случае на ОДЗ переменной x для исходного уравнения значения одной из частей уравнения больше или равны 9, а значения другой части меньше или равны 9, то наше уравнение f(x)=g(x) на ОДЗ равносильно системе уравнений .

То есть, переходим от исходного иррационального уравнения к равносильной системе уравнений . Как будем решать систему уравнений? Давайте решим одно из ее уравнений и проверим, какие из решений будут решениями другого уравнения системы, они и будут искомыми решениями системы. Какое из уравнений проще решить, первое или второе? Непонятно, какое проще, так что берем любое из них. Давайте попробуем решить первое уравнение системы.

Для решения уравнения вновь обратимся к полученным оценкам. Так как и , то равенство возможно тогда и только тогда, когда . Первое уравнение этой системы является простейшим иррациональным, его легко решить по определению корня или методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, и тот и другой способ дают единственный корень 2. Проверка подстановкой показывает, что 2 является корнем и второго уравнения системы (). Значит, 2 – это единственный корень системы, следовательно, это и единственный корень равносильного этой системе уравнения .

Так мы решили первое уравнение системы , его единственным корнем является число 2. Проверим, является ли число 2 корнем второго уравнения системы:

Подстановка дала верное числовое равенство, значит, двойка является корнем второго уравнения системы, а значит единственным корнем всей системы. Тогда в силу равносильности этой системы и исходного уравнения, 2 – это корень исходного уравнения, причем единственный.

Ответ:

2.

К началу страницы