Решите уравнение

Перед нами иррациональное уравнение (при необходимости смотрите что такое иррациональное уравнение). Беглый анализ его записи приводит к выводу, что нет возможности применять привычные методы решения иррациональных уравнений, такие как метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень или метод введения новой переменной. Зато довольно просто оценить значения подкоренных выражений, а вместе с ними и значения корней и значения суммы в левой части. Так что давайте попробуем провести решение иррационального уравнения методом оценки.

Наше иррациональное уравнение имеет вид f(x)=C, где и C=5. Для его решения методом оценки нужно оценить значения его левой части и, отталкиваясь от полученной оценки, либо сделать вывод об отсутствии корней уравнения, либо перейти к равносильной системе, решение которой даст искомое решение уравнения.

Получение оценки значений выражения f(x) начнем с оценивания значений каждого из трех корней , и .

Так как квадрат любого числа есть неотрицательное число, то (x⁵−2·x+1)²≥0. Из этого неравенства, а также из того, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, следует, что (x⁵−2·x+1)²+4≥4. Из этого неравенства и из того, что корень из большего числа больше корня из меньшего числа, следует, что . Таким образом, .

Аналогично оцениваем значения двух других корней:

и

Нам известно, что можно складывать и умножать числовые неравенства одного смысла. Из этих свойств числовых неравенств и из полученных неравенств , и следует, что , то есть, и , то есть, . Так получены оценки произведения корней, а также суммы корня и произведения корней.

Итак, неравенства и позволили нам получить оценку . Нам интересен случай равенства, так как мы решаем уравнение . Из списка утверждений метода оценки выберем то, которое подходит под этот случай. Оно таково: уравнение f(x)=C на множестве X равносильно системе уравнений , если на множестве X имеет место неравенство f(x)≥C, причем f(x) представляет собой сумму функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) таких, что f₁(x)≥C₁, f₂(x)≥C₂, …, f_n(x)≥C_n (при этом C₁+C₂+…+C_n=C). То есть, нам нужно перейти к равносильной системе уравнений .

К такому же выводу мы бы пришли, если бы не вспоминали соответствующее утверждение, а обратились к свойству сложения верных числовых неравенств: если a₁≥b₁ и a₂≥b₂, то a₁+a₂≥b₁+b₂, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда a₁=b₁ и a₂=b₂. Вот и у нас и , поэтому , и равенство возможно тогда и только тогда, когда и .

Итак, иррациональное уравнение равносильно системе уравнений . Теперь нам нужно решить систему уравнений.

Попытка получить решение первого уравнения системы приведет нас к алгебраическому уравнению пятой степени x⁵−2·x+1=0, решать которое затруднительно. Так что есть смысл попробовать решить второе уравнение системы.

Для решения второго уравнения системы нам потребуются полученные выше оценки и , из которых следует, что . Нас вновь интересует случай равенства . Оно возможно тогда и только тогда, когда и . Это следует из свойства умножения верных числовых неравенств: если a₁, a₂, b₁, b₂ – положительные числа и a₁≥b₁ и a₂≥b₂, то a₁+a₂≥b₁+b₂, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда a₁=b₁ и a₂=b₂. Значит, уравнение равносильно системе уравнений . Решение полученной системы сложностей не представляет, так как составляющие ее простейшие иррациональные уравнения легко решаются, например, по определению корня:

и

Значит, . Следовательно, единственным корнем уравнения является x=1.

Возвращаемся к системе . Ее второе уравнение, как мы только что выяснили, имеет единственный корень x=1. Проверим, является ли x=1 корнем первого уравнения системы:

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то x=1 является корнем первого уравнения системы. Следовательно, x=1 – корень системы, причем единственный. А так как эта система равносильна исходному уравнению, то x=1 – единственный корень этого уравнения.

1.