Пример
Решить иррациональное уравнение методом оценки 
Решение
Проведем решение иррационального уравнения мтодом оценки».
Наше уравнение имеет вид f(x)=C, где 
и C=3.
Согласно методу оценки, первое, что нам нужно сделать, это оценить значения выражения f(x). В нашем случае выражение представляет собой сумму двух корней, оценим значение каждого из них, что в дальнейшем позволит получить оценку и для суммы.
Из того, что квадрат любого числа (действительного) есть неотрицательное число, следует, что (x2−4)2≥0.
Из полученного неравенства и из того, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, вытекает, что (x2−4)2+1≥1.
Из полученного неравенства и из того, что корень из большего числа больше корня из меньшего числа, следует, что 
, то есть, 
.
Оценка значений первого корня получена, аналогично оцениваем значения второго корня:
Полученные оценки и 
, а также свойство сложения верных числовых неравенств, позволяют оценить значения выражения . Имеем 
и дальше 
.
Итак, что мы сделали: получили оценки и , которые дали неравенство . Что полезного нам это дает в плане решения уравнения ? Это позволяет сослаться на следующее утверждение метода оценки:
Утверждение
уравнение f(x)=C на множестве X равносильно системе уравнений 
, если на множестве X имеет место неравенство f(x)≥C, причем f(x) представляет собой сумму функций f1(x), f2(x), …, fn(x) таких, что f1(x)≥C1, f2(x)≥C2, …, fn(x)≥Cn (при этом C1+C2+…+Cn=C).
То есть, мы можем перейти к равносильной системе уравнений 
.
Не помните такое утверждение? Не страшно. Главное помнить, что лежит в его основе. А в его основе лежит одно из свойств числовых неравенств (их мы обязаны помнить при использовании метода оценки), а именно свойство сложения верных числовых неравенств одного смысла: если a1≥b1 и a2≥b2, то a1+a2≥b1+b2, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда a1=b1 и a2=b2. Вот и у нас и , поэтому , причем равенство возможно тогда и только тогда, когда 
и 
. Прочувствовали эту параллель?
Таким образом, полученные оценки позволили нам от исходного иррационального уравнения перейти к равносильной системе уравнений . Решение системы уравнений в данном случае сложности не представляет, так как не составляет сложности решение иррациональных уравнений, составляющих ее. Осуществим решение иррациональных уравнений по определению корня:
Следовательно, 
.
Так мы методом оценки нашли единственный корень иррационального уравнения , им является число 2.
Ответ:
2.