Решите уравнение

Перед нами иррациональное уравнение. Его вид довольно сложный, и анализ его вида приводит к заключению, что нет возможности применять привычные методы решения иррациональных уравнений, нацеленные на избавление от знаков корней. Областью допустимых значений переменной x для данного уравнения, очевидно, является множество всех действительных чисел. Эти обстоятельства заставляют обратиться к функционально-графическому методу решения уравнений. Какое из направлений функционально-графического метода предпочесть? Сразу отметаем графический метод, так как график функции, отвечающей левой части уравнения, строить сложно. Также отказываемся от подбора корня и исследования функции, отвечающей левой части, на монотонность. Почему? Да хотя бы потому, что корень не очевиден. А вот попробовать оценить значение функции, отвечающей левой части уравнения, стоит, так как отчетливо просматривается возможность это сделать. Итак, остановимся на методе оценки.

По методу оценки для решения уравнений вида f(x)=C (наше иррациональное уравнение имеет именно такой вид), во-первых, требуется получить оценку значений функции f (или выражения f(x)), и, во-вторых, на базе одного из утверждений, которое соответствует полученной оценке, либо сделать вывод об отсутствии корней уравнения, либо перейти к системе, равносильной исходному уравнения.

Оценим значение выражения . Так как оно представляет собой сумму трех корней, то целесообразно оценить значения каждого из корней по отдельности и, используя их, получить интересующую нас оценку.

Оценим значения первого корня . Так как квадрат любого действительного числа есть неотрицательное число, то x²≥0. Из этого неравенства и свойства верных числовых равенств, которое узаконивает прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа, следует, что x²+27≥27. А это неравенство и одно из свойств корней, которое утверждает, что корень из большего числа есть большее число, позволяет записать неравенство , откуда имеем .

Аналогично оцениваем второй и третий корни и :

Из полученных оценок , и , а также из свойства сложения верных числовых неравенств одного смысла следует, что , то есть, .

Оценка получена. Мы имеем f(x)≥6 и, очевидно, . Остается пробежаться по списку утверждений метода оценки, чтобы выбрать подходящее под полученные условия f(x)≥6 и . Соответствующее утверждение таково: уравнение f(x)=C не имеет решений на множестве X, если f(x)≥b и b>C. Таким образом, иррациональное уравнение не имеет решений.

Естественно, подобное заключение можно дать и без поиска соответствующего утверждения, оно практически очевидно. Действительно, мы выяснили, что значения левой части уравнения больше или равны шести. Из этого, а также из неравенства , следует, что равенство не может достигаться ни при каких значениях переменной. То есть, решаемое уравнение не имеет корней.

нет корней.