Решите иррациональное уравнение методом оценки.

Давайте для начала подумаем, почему нам для решения уравнения предложен метод оценки. Прикидывая к этому уравнению известные нам методы решения иррациональных уравнений, приходим к выводу, что других методов решения не видно. Действительно, попытки избавления от корня через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а именно, в четвертую, даже при условии предварительного введения новой переменной приведут к алгебраическому уравнению высокой степени, решить которое вряд ли получится. Преобразования уравнения вряд ли что-то кардинально изменят в лучшую сторону в плане решения уравнения. Решение уравнения по ОДЗ (здесь ОДЗ определяется условием (x²−1)²+16≥0, откуда заключаем, что областью допустимых значений является множество всех действительных чисел) невозможно. В итоге остается лишь функционально-графический метод решения уравнения, причем именно его направление, связанное с оценкой значений. В самом деле: строить графики функций, отвечающих частям уравнения, сложно, а опереться на возрастание одной, убывание другой функции и подбор корня тоже не выйдет. Итак, решаем уравнение указанным в условии методом - методом оценки.

Рассмотрим функции f и g, которые отвечают левой и правой части уравнения соответственно, то есть, и . Оценим значения функций.

Для функции f попробуем обойтись грубой, зато очевидной оценкой, которая вытекает из определения корня четной степени, имеем f(x)≥0. Для функции g довольно очевидно, что ее значения не превосходят двойки, действительно, степень с четным показателем любого числа есть неотрицательное число, значит, x⁶≥0 для любого x, следовательно, −x⁶≤0 и дальше 2−x⁶≤2, то есть, g(x)≤2.

Итак, оценки получены: f(x)≥0 и g(x)≤2. Но эти оценки нам не позволяют сделать вывод о корнях уравнения f(x)=g(x). В самом деле, на основании этих оценок понятно, что ниже прямой y=0 нет точек графика функции f, выше прямой y=2 нет точек графика функции g, значит, там нет и точек пересечения графиков, а вот есть ли точки пересечения графиков функций f и g в полосе от прямой y=0 до прямой y=2, включая эти прямые, не понятно. Следовательно, не понятно, имеет ли решаемое уравнение корни.

Здесь самое время вспомнить, что мы отталкивались от грубой оценки значений функции f. Давайте попробуем получить более точную оценку, может быть это позволит продвинуться в решении уравнения.

Так как квадрат любого числа есть число неотрицательное, то (x²−1)²≥0, значит (x²−1)²+16≥16, следовательно, , что то же самое, . Так мы получили более точную оценку значений функции f, она такова: f(x)≥2.

Теперь поработаем с оценками f(x)≥2 и g(x)≤2. Что мы имеем? На ОДЗ переменной x для исходного уравнения значения функции f не меньше двойки, а значения функции g не превосходят двойки, значит, уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений на ОДЗ переменной x для исходного уравнения.

Итак, полученные оценки позволяют нам перейти от иррационального уравнения к равносильной системе уравнений . Очевидно, что очень легко решить второе уравнение системы, поэтому, решение системы уравнений в данном случае удобно провести так: решить второе уравнение и проверить, какие из его корней являются корнями первого уравнения, они и будут решениями системы. Так и поступим.

Уравнение 2−x⁶=2 путем равносильных преобразований приводится к виду x⁶=0, откуда виден единственный корень уравнения x=0. Подстановка этого значения в первое уравнение системы дает неверное равенство ( - неверное), значит, x=0 не является корнем первого уравнения системы. Следовательно, система уравнений не имеет решений. Значит, не имеет решений и равносильное ей иррациональное уравнение .

нет решений.