Решить иррациональное уравнение

Привычные методы избавления от корня, такие как метод возведения обеих частей уравнения в квадрат или метод решения по определению корня, в данном случае приведут к алгебраическому уравнению шестой степени, а решать такие уравнения сложно, да и не всегда это можно сделать. Так что эти методы решения отметаем. Также, скорее всего, придется отказаться от решения иррационального уравнения методом введения новой переменной, так как не просматривается выражение, подходящее для введения новой переменной. Может, помогут какие-нибудь преобразования уравнения? Непонятно, в каком направлении их проводить. Остается надежда на метод решения уравнений через ОДЗ и на функционально-графический метод решения уравнений.

Начнем с нахождения ОДЗ. В нашем случае ОДЗ определяется неравенством x⁶+4·x³+5≥0. Его левую часть можно преобразовать, представив пятерку в виде суммы 4+1 и воспользовавшись формулой сокращенного умножения квадрат суммы, это дает равносильное неравенство (x³+2)²+1≥0. В такой записи легко оценить значения выражения, находящегося в левой части: так как квадрат любого числа есть число неотрицательное, то (x³+2)²≥0, значит, в силу одного из свойств числовых неравенств (x³+2)²+1≥1. Следовательно, решением неравенства (x³+2)²+1≥0 является множество всех действительных чисел. Таким образом, областью допустимых значений переменной x для иррационального уравнения является множество всех действительных чисел.

ОДЗ не позволяет нам сделать выводы о решениях уравнения. Остается обратиться к функционально-графическому методу. Определимся, какому направлению функционально-графического метода отдать предпочтение: графикам, использованию свойств монотонности или методу оценки.

Рассмотрим две функции и . Строить графики мы не будем, так как для функции f это довольно сложно сделать. Надеяться на то, что одна из функций f и g возрастающая, а другая – убывающая, не приходится, так как g – квадратичная функция, а ее график есть парабола, которая на найденной выше области допустимых значений не является монотонной функцией. А оценить значения этих функций довольно просто. Значит, есть смысл пробовать решить уравнение методом оценки.

Оценим значения функций f и g. Попробуем обойтись грубыми оценками. Начнем с оценки значений функции f. Так как квадратный корень по определению есть неотрицательное число, то для любого x из области определения функции f значение этой функции есть неотрицательное число, то есть, f(x)≥0. (В нашем случае можно получить и более точную оценку: выше при нахождении ОДЗ мы преобразовали подкоренное выражение к виду (x³+2)²+1 и получили его оценку (x³+2)²+1≥1, значит , то есть, .) Теперь оценим значения функции g. Для этого прикинем, как расположена соответствующая парабола. Так как коэффициент при x² отрицательный, то ее ветви направлены вниз. А каковы координаты вершины этой параболы? Вычислим их: . Значит, . (В нашем случае можно заменить вычисление ординаты вершины вычислением дискриминанта, D=5²−4·(−1)·(−7)=−3, он отрицательный, из этого и из отрицательного коэффициента при x² следует, что g(x)<0, эта оценка грубее предыдущей, но и ее было бы достаточно.)

Итак, грубые оценки таковы f(x)≥0, g(x)<0, более точные таковы f(x)≥1, g(x)≤−3/4. И из первых, и из вторых следует, что уравнение f(x)=g(x) не имеет решений. То есть, иррациональное уравнение не имеет решений.

нет решений.