Пример

Решить иррациональное уравнение

Решение

Можно воспользоваться методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или пробовать решить уравнение методом введения новой переменной . Это, конечно, позволит избавиться от корня, но очевидно приведет к уравнениям степени выше второй, а их решение обычно является кропотливым занятием. Но мы видим, что в левой и правой части уравнения находятся довольно простые выражения, и можно без труда построить графики соответствующих функций. Поэтому есть смысл обратиться к функционально-графическому методу решения уравнений и начать с построения графиков, вдруг, этого будет достаточно для наших целей. Итак, попробуем решить уравнение графически.

Построим графики функций и .

График первой функции можно построить путем геометрических преобразований графика функции , который нам хорошо известен. Требуется провести сдвиг одну единицу вправо и растяжение втрое вдоль оси ординат. Для удобства возьмем несколько контрольных точек:

Графиком второй функции является парабола. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при x2 отрицательный. Определим координаты ее вершины x0 и y0: . И тоже возьмем несколько контрольных точек:

В результате получаем следующий чертеж

Что мы видим? По большей части лишь то, что на промежутке от 1 до 3 графики функций почти совпадают. Сколько там пересечений? Непонятно. Можно точно говорить про два, в точках с координатами (1, 0) и (2, 3), и то, мы их видим не столько по чертежу, сколько из таблиц контрольных точек. А есть ли еще пересечения? Для ответа на этот вопрос нужны дополнительные исследования.

Если есть возможность, то можно построить более детальное изображение графиков в интересующей области от 1 до 3.

Здесь уже видно, что графики имеют три общие точки. Две из них имеют абсциссы 1 и 2, а третья – приблизительно 2,7.

Но обычно под рукой нет компьютера со специализированной программой, а имеется только лист бумаги и пишущий инструмент. Поэтому, детальный чертеж сделать крайне проблематично. Ну и хочется иметь точное значение корня, а не приближенное. Следовательно, в нашем случае графический метод решения оказался не очень хорош. Так что все-таки обратимся к аналитическим методам.

Попробуем решить иррациональное уравнение методом введения новой переменной. Примем , отсюда x=t2+1. Подставив эти результаты в исходное уравнение, получим рациональное уравнение 3·t=−(t2+1)2+6·(t2+1)−5. Преобразуем это уравнение к удобному для решения виду при помощи равносильных преобразований. Перенос всех слагаемых в левую часть, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых приводит к уравнению t4−4·t2+3·t=0, и вынесение за скобки переменной t дает t·(t3−4·t+3)=0. Одним корнем этого уравнения является t=0, остальные корни находятся при решении кубического уравнения t3−4·t+3=0. Один его корень очевиден t=1. Это позволяет решаемое кубическое уравнение представить в виде (t−1)·(t2+t−3)=0 и найти остальные его корни, решив квадратное уравнение t2+t−3=0:

Итак, уравнение, полученное после введения новой переменной , имеет четыре корня 0, 1, и . Осталось вернуться к старой переменной.

Для этого составляем совокупность четырех уравнений , , , . Остается найти решение совокупности. Для этого по очереди решим все уравнения совокупности и объединим их решения.

Составляющие совокупность уравнения - это простейшие иррациональные уравнения. Они легко решаются, например, методом решения уравнений по определению корня. Имеем

Таким образом, совокупность уравнений имеет три корня 1, 2, . Значит, иррациональное уравнение имеет три корня 1, 2 и . Последний из них – это как раз тот корень, приближенное значение которого (2,7) мы ранее определили по графикам.

Ответ:

1, 2, .

К началу страницы