Решить уравнение

Заданное уравнение - иррациональные (см. определение иррационального уравнения). По его внешнему виду непросто угадать, какой метод позволит получить решение. На первый взгляд реальными выглядят два подхода: первый - пробовать ввести новую переменную, и второй – уединить радикал, после чего возвести в квадрат обе части уравнения. Проверим эти возможности.

Попробуем провести решение иррационального уравнения методом введения новой переменной. Примем . Тогда . Подстановка этих результатов в исходное уравнение дает дробное рациональное уравнение . Попытка получить решение обычным для этого вида уравнений способом приведет к необходимости решения алгебраического уравнения пятой степени t⁵−2·t⁴−14·t³+28·t²+49·t−102=0. А решить его со школьным багажом знаний не получится. Итак, этот подход тупиковый, будем пробовать решать исходное уравнение по-другому.

Может выручит уединение радикала и последующее возведение обеих частей уравнения в квадрат? Посмотрим:

Дальше можно не продолжать: и так видно, что мы опять столкнемся с уравнением пятой степени. Что еще пробовать? Пора обратиться к функционально-графическому методу решения уравнений.

Функции и , отвечающие соответственно левой и правой части исходного уравнения, довольно простые, и нам не составит большого труда построить их графики. Так что попробуем решить уравнение графически.

Построить графики функций нам помогут следующие соображения: графики интересующих нас функций можно получить из графиков основных элементарных функций и при помощи преобразований параллельного переноса и растяжения-сжатия вдоль координатных осей (при необходимости смотрите геометрические преобразований графиков функций). Но, когда позволяет воображение, геометрические преобразования удобно проводить мысленно с целью получения представления о конфигурации графиков, а построение осуществлять по точкам. Для удобства составим две таблицы значений функций и . Конечно же, будем учитывать области определения этих функций (x≠1 для и x≥−5/2 для ), и брать такие значения независимой переменной, для которых легко вычисляются точные значения функций:

Отмечаем точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавными линиями, стараясь получить изображения, соответствующие полученному выше представлению об их конфигурации. В результате получаем такой чертеж

По чертежу видно, что графики имеют одну единственную точку пересечения. Значит, уравнение имеет единственное решение. Видно, что абсцисса точки равна 2, это и есть интересующее нас решение. Но нужно помнить, что результаты, полученные по графикам, могут быть неточными, приблизительными, то есть, и при возможности их нужно проверять. Выполним проверку корня уравнения: для этого подставим x=2 в исходное уравнение. Имеем

Подстановка дает верное числовое равенство, следовательно, x=2 – корень уравнения . То есть, графическим методом мы нашли точный корень.

2.