Решите иррациональное уравнение

Наперед и не скажешь, какой метод решения иррационального уравнения приведет к результату. Можно попробовать решить иррациональное уравнение методом введения новой переменной . Тогда , и подстановка этих двух результатов в исходное уравнение даст уравнение . Внесение под знак радикала коэффициента 2 и перенос единицы в правую часть приведет к иррациональному уравнению , которое можно решать по определению корня, то есть, переходить к уравнению (t+1)²=2·t³+16 при условии t+1≥0. Уравнение (t+1)²=2·t³+16 в свою очередь преобразовывается в кубическое уравнение 2·t³−t²−2·t+15=0. Дальнейшая работа с этим уравнением покажет, что это уравнение не имеет рациональных корней, и решать его остается разве что по формулам Кардано, что довольно сложно. Вывод: стоит поразмыслить над другим подходом к решению.

А какие еще есть варианты? Может, нужны какие-либо преобразования уравнения, которые приведут нас к более простому уравнению? Непонятно, к чему идти. Обращаться к методу возведения частей уравнения в одну и ту же степень? Очевидно, это не выход. То есть, простого аналитического метода решения не видно. Значит, следует пробовать обратиться к функционально-графическому методу решения уравнений. Функции, отвечающие левой и правой части уравнения, довольно простые для построения, а это располагает попробовать обойтись графиками. То есть, попробуем получить решение графическим методом.

Рассмотрим две функции и , отвечающие соответственно левой и правой части решаемого иррационального уравнения. Построение графиков этих функций можно провести через геометрические преобразования графиков хорошо известных нам основных элементарных функций и . Если понятна конфигурация графиков, то можно осуществить построение по точкам. Для этого удобно составить две таблицы значений аргументов и соответствующих значений функции. Естественно, при этом необходимо учитывать области определения функций (x≥−4 для функции , x - любое для функции ) и целесообразно брать такие значения аргумента, для которых значения функций вычисляются без проблем:

Теперь в прямоугольной системе координат отмечаем точки и соединяем их плавными линиями. В результате получаем следующий чертеж:

Очевидно, графики функций не пересекаются. За пределами видимой области пересечений тоже нет (на плюс бесконечности функция растет быстрее функции , так как степень выражения больше степени выражения ). Следовательно, иррациональное уравнение не имеет решений.

В заключение заметим, что если бы мы довели решение до конца согласно плану, предложенному в самом начале, то пришли бы к такому же результату, какой нам дал графический метод. По методу Кардано мы бы выяснили, что кубическое уравнение 2·t³−t²−2·t+15=0 имеет единственный действительный корень, который примерно равен −2. Он не удовлетворяет условию t+1≥0, поэтому, является посторонним корнем для уравнения . Значит, это уравнение не имеет корней, как и равносильное ему уравнение . А из этого следует, что и исходное уравнение не имеет корней.

нет решений.