Решить уравнение

Бросается в глаза выражение x−6, находящееся и в правой части иррационального уравнения и под корнем в левой части. На ОДЗ переменной x для исходного уравнения () определение корня позволяет представить выражение x−6 как и перейти к равносильному уравнению . Дальше остается выбрать из двух возможных подходов к решению:

• либо перенести выражение из правой части в левую, вынести корень за скобки, чтобы получить произведение в левой части и ноль в правой части, после чего решить уравнение методом разложения на множители,
• либо осуществить деление обеих частей уравнения на корень , не забыв отдельно проверить значение 6, обращающее корень в нуль и принадлежащее ОДЗ, после чего решить полученное более простое иррациональное уравнение.

Покажем по очереди оба варианта решения.

Метод разложения на множители требует произведения в левой части уравнения и нуля в правой части. Приведем уравнение к нужному нам виду:

Теперь, согласно выбранному методу решения, переходим к совокупности уравнений, находим ее решение, наконец, определяем и отсеиваем посторонние корни при их наличии.

Имеем совокупность двух уравнений .

Решение совокупности уравнений проведем как обычно: по очереди решим ее уравнения и объединим корни. Оба уравнения совокупности иррациональные, первое уравнение решим методом решения уравнений по определению корня, а второе – методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Решаем первое уравнение совокупности:

Первое уравнение совокупности имеет единственный корень 6.

Решаем второе уравнение совокупности:

И второе уравнение совокупности имеет один единственный корень 7.

Следовательно, решениями совокупности являются два числа 6 и 7.

Остается проверить, нет ли среди найденных чисел посторонних корней для исходного уравнения. В самом начале решения мы нашли ОДЗ, она задается неравенством x≥6. Очевидно, и 6, и 7 принадлежат ОДЗ, значит, являются корнями исходного уравнения.

Мы обещали показать и второй способ решения уравнения через деление обеих частей на . Сдержим слово.

Из материала статьи равносильные преобразования уравнений понятно, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение может быть неравносильным преобразованием, если выражение, на которое мы делим, обращается в нуль на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. При таком делении могут быть потеряны корни, обращающие в нуль выражение, на которое произведено деление, и принадлежащие ОДЗ. Поэтому, раз уж выбран способ решения через деление, нужно сразу найти и включить в ответ значения, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнение и обращающие в нуль выражение, на которое будет проводится деление, и только потом делить.

Так и сделаем. Посмотрим, при каких значениях x корень обращается в нуль, то есть, решим уравнение . Его мы решали выше и нашли x=6. Это значение принадлежит области допустимых значений (x≥6), которую мы также определили выше. Поэтому, сразу включаем 6 в ответ.

Теперь делим обе части уравнения на , не опасаясь потерять решения, получаем уравнение . Это уравнение (оно равносильно второму уравнению совокупности, которую мы решили выше) имеет единственный корень x=7. Его и записываем в ответ к уже присутствующему там числу 6.

6, 7.