Решить иррациональное уравнение

Просматривается возможность решить уравнение методом разложения на множители, ведь разность квадратов в левой части уравнения можно представить в виде произведения по соответствующей формуле сокращенного умножения. Имеем и дальше . Проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями уравнения, поэтому полученное уравнение равносильно исходному.

Проведенная подготовка иррационального уравнения позволяет дальше действовать по стандартному алгоритму метода разложения на множители:

• Переходим к совокупности уравнений,
• Решаем составленную совокупность,
• Нет решений у совокупности – нет решений и у уравнения, есть решения у совокупности - отсеиваем посторонние корни.

От уравнения переходим к совокупности .

Теперь нам нужно решить совокупность уравнений. Для этого по очереди решим составляющие ее уравнения и объединим их решения. Оба уравнения совокупности являются иррациональными уравнениями. Решать их можно, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат с предварительным уединением радикала. Решаем первое уравнение:

При таких корнях проверку удобнее провести не через подстановку в уравнение , а по условию x−1≥0 (что по сути равносильно решению иррационального уравнения по определению корня). Для удобства последнее условие перепишем как x≥1. Имеем

Первое уравнение совокупности решено, оно имеет единственный корень .

Решаем второе уравнение совокупности:

Здесь тоже проверку удобнее проводить не через подстановку в уравнение , а по условию −x−1≥0, что то же самое x≤−1:

Таким образом, второе уравнение совокупности тоже имеет единственный корень .

Следовательно, совокупность имеет два корня и . Обозначим их как и .

Остается выполнить последний шаг алгоритма метода разложения на множители – отсеять посторонние корни. В нашем случае несложно найти ОДЗ для исходного уравнения, поэтому проверку можно провести по ОДЗ. ОДЗ определяется условием x+2≥0, что то же самое x≥−2. И , и удовлетворяют последнему неравенству, так как, очевидно, что и x₁ и x₂ являются положительными, поэтому оба являются искомыми корнями. Можно оформить проверку и строго:

, .