Пример

Решить уравнение

Решение

Левая часть заданного уравнения представляет собой произведение, правая часть – ноль. Это нам подсказывает, что нужно обратиться к методу разложения на множители для решения уравнений. По данному методу нужно

  • перейти к совокупности уравнений,
  • решить составленную совокупность,
  • если совокупность корней не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней исходного уравнения, если же корни имеются, то отсеять посторонние.

Переходим к совокупности трех уравнений x−5=0, x+1=0, .

Теперь нам надо найти решение совокупности уравнений. Для этого найдем решения каждого ее уравнения и объединим результаты. Первые два уравнения совокупности и - это линейные уравнения. Их решениями являются соответственно x=5 и x=−1. Остается решить иррациональное уравнение . Первый переход осуществим в соответствии с методом решения иррациональных уравнений по определению корня, это приводит к равносильному иррациональному уравнению , в котором можно уединить радикал , после чего воспользоваться методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Объединение корней всех трех уравнений совокупности дает решение совокупности: 5, −1 и −3. Обозначим корни как x1=5, x2=−1 и x3=−3.

Последний шаг алгоритма метода разложения на множители предписывает выполнить отсеивание посторонних корней. Для этого запишем условия, определяющие ОДЗ переменной x для исходного уравнения: . Очевидно, решать составленную систему не очень просто из-за ее первого иррационального неравенства. Поэтому, чтобы избавить себя от лишней работы ограничимся проверкой по записанным условиям. Подставим по очереди значения x1=5, x2=−1, x3=−3 в систему и посмотрим, какие из значений удовлетворяют обоим ее неравенствам. Они и будут искомыми корнями.

Таким образом, 5 и −3 – корни иррационального уравнения , а −1 – посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня 5 и −3.

Ответ:

−3, 5.

К началу страницы