Решить иррациональное уравнение

Очевидно, уравнение имеет вид f₁(x)*f₂(x)*f₃(x)=0, где f₁(x)=x-2, f₂(x)=x²-x-12, . Произведение в левой части уравнения и нуль в правой подсказывают, что следует проводить решение уравнения методом разложения на множители. Согласно выбранному методу решения нам нужно:

• Перейти от исходного уравнения f₁(x)*f₂(x)*f₃(x)=0 к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0,
• Решить составленную совокупность,
• Если совокупность, решенная на предыдущем шаге, не имеет корней, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же на предыдущем шаге были найдены корни, то провести отсеивание посторонних корней.

В нашем случае в левой части уравнения три множителя f₁(x)=x-2, f₂(x)=x²-x-12, , поэтому совокупность будет состоять из трех уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, f₃(x)=0, что в нашем случае есть x-2=0, x²-x-12=0, . То есть, имеем совокупность уравнений следующего вида .

Теперь нам нужно решить совокупность уравнений. Для этого решим отдельно каждое из ее уравнений, и объединим полученные решения. Уравнение x-2=0 – это линейное уравнение. Его корнем является x=2. Уравнение x²-x-12=0 – это квадратное уравнение. Его дискриминант D равен (-1)²-4*1*(-12)=49, он положительный, значит, уравнение имеет два корня. Находим их: и . Последнее уравнение совокупности - это простейшее иррациональное уравнение. Его удобно решать по определению корня: . Таким образом, совокупность имеет четыре корня x₁=2, x₂=-3, x₃=4 и x₄=1.

Остается провести отсеивание посторонних корней. Обычно при решении уравнения методом разложения на множители отсеивание осуществляют либо по ОДЗ, либо по условиям ОДЗ, либо через непосредственную подстановку корней в исходное уравнение. Как правило, выбирают самый удобный и простой способ для данного случая. В нашем случае эти способы примерно равносильны по трудозатратам, поэтому, можно воспользоваться любым из них. Для общего представления мы проведем отсеивание посторонних корней всеми тремя способами.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ

Чтобы отсеять посторонние корни по ОДЗ, нам, естественно, нужно найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения . Здесь ОДЗ определяется условием x-1≥0, из которого находим x≥1. Таким образом, ОДЗ есть числовое множество [1, +∞). Теперь смотрим, какие из найденных на предыдущем шаге корней x₁=2, x₂=-3, x₃=4 и x₄=1 принадлежат этому множеству, а какие – нет. Очевидно, x₁=2, x₃=4 и x₄=1 – принадлежат ОДЗ, поэтому, являются корнями исходного иррационального уравнения, а x₂=-3 – не принадлежит ОДЗ, то есть, это посторонний корень.

Понятно, что данный способ удобен тогда, когда довольно просто найти ОДЗ в виде числового множества. Если же нахождение ОДЗ в виде числового множества затруднительно, то целесообразно обратиться к другим способам отсеивания посторонних корней, например, к следующему.

Отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ

При данном способе проверки, в отличие от предыдущего, мы не находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения в виде числового множества, а просто записываем условия, определяющие ОДЗ, после чего смотрим, удовлетворяют ли этим условиям найденные на предыдущем шаге корни. Если корень удовлетворяет всем условиям ОДЗ, то он принадлежит ОДЗ и является корнем исходного уравнения. Если же корень не удовлетворяет хотя бы одному из условий ОДЗ, то он не принадлежит ОДЗ, значит, это посторонний корень, и он не является корнем исходного уравнения.

В нашем случае ОДЗ определяется одним условием x-1≥0. Остается по очереди подставить в это условие наши корни x₁=2, x₂=-3, x₃=4 и x₄=1 и посмотреть, какие из них ему удовлетворяют. Сделаем это:

Отсеивание посторонних корней путем подстановки в исходное уравнение

Здесь все просто: по очереди подставляем найденные на предыдущем шаге корни в исходное уравнение. Те значения, которые обращают исходное уравнение в верное равенство являются корнями, а те, которые обращают исходное уравнение в выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Осуществим подстановку найденных корней x₁=2, x₂=-3, x₃=4 и x₄=1 в исходное уравнение :

Заметим, что этот способ отсеивания посторонних корней по сути очень схож с предыдущим. Действительно, при подстановке корней в исходное уравнение лишить смысла получаемое при этом выражение могут лишь фрагменты исходного уравнения, по которым записываются условия, определяющие ОДЗ. В нашем случае определяющее ОДЗ условие x-1≥0 нам диктует корень . При подстановке в исходное уравнение x₂=-3 именно этот корень и лишает смысла все выражение .

Плюс этого способа в том, что при нем осуществляется и проверка найденных корней, что позволяет убедиться, что мы не сделали вычислительных ошибок в процессе решения.

Как видите, все три способа привели нас к такому результату: уравнение имеет три корня x₁=2, x₃=4, x₄=1, а x₂=-3 - посторонний корень для исходного иррационального уравнения.

1, 2, 4.