Решить уравнение

В записи данного иррационального уравнения (при необходимости смотрите что такое иррациональное уравнение) аж три отдельных корня, более того, есть и переменная не под знаком корня. Из этого сразу понятно, что не стоит прибегать к решению уравнения по определению корня. Также понятно, что и использование метода возведения обеих частей уравнения в квадрат будет не лучшим выбором, так как приведет к уравнению высокой степени. Так что же, вводить новую переменную? Может быть, но сразу не видно, как это сделать. Попробуем провести некоторые преобразования, возможно, они что-то прояснят.

Давайте поработаем с корнем . Проверим, имеет ли квадратный трехчлен 2·x²+5·x+3 корни, для этого нам нужно решить квадратное уравнение 2·x²+5·x+3:

Найденные корни дают нам возможность разложить квадратный трехчлен на множители:
2·x²+5·x+3=2·(x+3/2)·(x+1)= =(2·x+3)·(x+1).
Следовательно, . Учитывая этот результат, исходное уравнение можно записать в следующем виде .

Уже лучше - проявились одинаковые выражения 2·x+3 и x+1. Что дальше? Несложно заметить, что выражение на ОДЗ для исходного уравнения в силу свойства корня из произведения можно представить как . А это не что иное, как удвоенное произведения корней из левой части уравнения и . Это в свою очередь навевает на мысль: нельзя ли выражение в правой части уравнения свернуть в квадрат . Если это так, то мы сможем ввести новую переменную . Проверим эту догадку.

А в правой части уравнения находится выражение , которое можно представить как и дальше в силу последнего полученного результата как .

Итак, от исходного уравнения мы перешли к равносильному уравнению , которое в свою очередь равносильно уравнению .

Полученное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Выбранный метод решения предполагает следующую последовательность действий:

• Осуществить введение новой переменной.
• Решить уравнение с новой переменной. Если оно не имеет решений, то сделать вывод об отсутствии корней решаемого уравнения со старой переменной. Если оно имеет корни, то перейти к следующему шагу.
• Возвратиться к старой переменной, составив в зависимости от количества найденных на предыдущем шаге корней, одно уравнение, совокупность нескольких уравнений или совокупность уравнений и/или неравенств.
• Наконец, решить составленное уравнение или совокупность.

Принимаем , это от уравнения со старой переменной x приводит нас к уравнению t=t²−20 с новой переменной t.

Решаем уравнение с новой переменной. Оно равносильно квадратному уравнению t²−t−20=0, которое имеет два корня t₁=−4 и t₂=5 (они легко находятся через дискриминант или по теореме Виета).

Возвращаемся к старой переменной. Мы принимали и нашли t₁=−4, t₂=5, поэтому имеем совокупность двух уравнений .

Осталось решить совокупность. Первое уравнение решений не имеет, так как сумма двух корней не может быть отрицательным числом (при необходимости смотрите метод оценки для решения иррациональных уравнений). Для решения второго уравнения воспользуемся методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Таким образом, первое уравнение совокупности не имеет корней, а второе уравнение совокупности имеет единственный корень 3. Следовательно, совокупность имеет единственный корень 3. Это означает, что и уравнение имеет единственный корень 3. Следовательно, равносильное ему исходное иррациональное уравнение имеет тот же единственный корень 3.

При желании можно сделать контрольную проверку найденного корня уравнения:

3.