Решите иррациональное уравнение

Очевидно, что дроби под знаками корней отличаются лишь тем, что их числители и знаменатели поменяны местами, а это навевает мысль о решении уравнения методом введения новой переменной. Вот алгоритм метода:

• Вводится новая переменная.
• Решается полученное уравнение с новой переменной.
  • Если оно решений не имеет, то не имеет решений и исходное уравнение.
  • Если оно имеет решения, то осуществляется переход к следующему пункту.
• Проводится возврат к старой переменной. Для этого в зависимости от количества корней, найденных на предыдущем шаге, составляется одно уравнение, совокупность нескольких уравнений или совокупность уравнений и/или неравенств.
• Решается составленное уравнение или совокупность, что дает искомое решение.

Как лучше ввести новую переменную? Конечно, можно одну из дробей принять за t, например, взять , тогда другая перевернутая дробь выразится через t как 1/t, а уравнение примет вид . При этом вид уравнения стал проще, но оно осталось иррациональным, причем довольно сложным, и для его решения придется вводить еще одну переменную. Таким образом, стоит подумать, нельзя ли изначально ввести новую переменную так, чтобы прийти к более простому уравнению с новой переменной? Давайте прикинем.

Не взять ли в качестве новой переменной корень из дроби? Если так, то с каким показателем корня, ведь в условии показатели корней разные, 2 и 4? В таких случаях обычно берут корень с показателем, равным НОК показателей корней в условии, так как такой выбор позволит перейти к уравнению с новой переменной без корней. Вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(2, 4)=4. С показателем корня определились. Осталось определиться, какая под этим корнем будет дробь, или . Принципиальной разницы нет. Здесь лишь стоит руководствоваться удобством введения новой переменной при данном выборе и простотой в плане решения получаемого уравнения с новой переменной. Попробуем принять за t корень , так как он фигурирует в условии примера.

Итак, принимаем . При этом, чтобы перейти от исходного уравнения к уравнению с новой переменной, нам нужно выразить другой корень через . Как это сделать? Путем равносильных преобразований иррационального выражения на ОДЗ переменной x для исходного уравнения, например, как то так: .

Таким образом, условившись, что , мы исходное иррациональное уравнение преобразуем к равносильному уравнению , что позволяет записать уравнение с новой переменной .

Решаем рациональное уравнение :

В процессе решения рационального уравнения пришли к необходимости решения кубического уравнения с целыми коэффициентами. Проверка делителей свободного члена, то есть чисел 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 6, −6, 12, −12, 36, −36, позволяет найти все три корня кубического уравнения: t₁=2, t₂=−3, t₃=−6.

Для завершения решения рационального уравнения нужно проверить, не являются ли найденные корни посторонними:

Пришло время вернуться к старой переменной. Мы принимали и нашли три значения t₁=2, t₂=−3, t₃=−6, поэтому составляем совокупность из трех уравнений:

Остается решить составленную совокупность. Все три ее уравнения – простейшие иррациональные. Очевидно, что два последних уравнения не имеют решений, так как корень четной степени не может быть равен отрицательному числу (см. решение иррациональных уравнений методом оценки). Первое иррациональное уравнение решим по определению корня:

Приходим к рациональному уравнению, которое и решаем:

Таким образом, совокупность уравнений имеет единственное решение −9, которое является единственным решением заданного иррационального уравнения .

Для страховки можно осуществить проверку найденного корня уравнения:

Ответ получен. Теперь можно посмотреть, как бы выглядело решение, если бы мы ввели новую переменную не так , а вот как . В этом случае после введения новой переменной мы бы имели уравнение , решение которого свелось бы к решению кубического уравнения 36·t³−7·t−1=0. Его решение чуть сложнее решения того кубического уравнения, которое было получено выше при другом способе введения новой переменной. Его корнями, как и корнями уравнения , являются −1/6, −1/3 и 1/2. Возвращение к старой переменной дало бы совокупность . Первое и второе ее уравнения решений не имеют, а третье уравнение имеет единственный корень −9, который является ее решением, как и решением исходного уравнения.

−9.