Решить иррациональное уравнение

Одинаковые выражения под знаками корней навевают на мысль о решении уравнения методом введения новой переменной. Да, введение новой переменной позволяет решить это уравнение. Но выражение, подходящее для замены на новую переменную, не очевидно, ведь показатели корней разные, более того больший показатель корня 3 не делится нацело на меньший 2. В таких случаях новой переменной целесообразно обозначать корень с таким же подкоренным выражением, что и в условии, и показателем, равным наименьшему общему кратному показателей корней в записи уравнения. В нашем случае НОК(3, 2)=6, поэтому примем . Итак, с методом решения определились и выяснили, какое выражение принять в качестве новой переменной. Остается выполнить все необходимые действия по данному методу решения. А они таковы:

• Ввести новую переменную g(x)=t.
• Решить полученное уравнение с новой переменной.
  • Если оно решений не имеет, то сделать вывод об отсутствии решений исходного уравнения.
  • Если оно имеет решения, то перейти к следующему пункту.
• Возвратиться к старой переменной. Это делается так:
  • Если решение одно t₁, то составить уравнение g(x)=t₁.
  • Если решений несколько t₁, t₂, …, t_n, то составить совокупность уравнений .
  • Если же уравнение с новой переменной имеет бесконечно много решений, образующих числовое множество T, то составить совокупность уравнений и/или неравенств, соответствующую выражению g(x)∈T.
• Решить составленное уравнение или совокупность, что даст искомое решение.

Начинаем с введения новой переменной. В самом начале мы выяснили, что следует принять . А как перейти от исходного уравнения к уравнению с новой переменной? Для этого нужно корни и выразить через . Это позволяют сделать свойства корней. Имеем и . Таким образом, исходное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению , и, заменив в нем на t, получаем уравнение с новой переменной. Оно имеет вид t³+7·t²−36=0.

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение t³+7·t²−36=0 с новой переменной. В данном случае достаточно проверки делителей свободного члена, среди них находятся все три корня уравнения: t₁=2, t₂=−3, t₃=−6.

Возвращаемся к старой переменной. Так как мы принимали и нашли t₁=2, t₂=−3, t₃=−6, то составляем совокупность вида .

Осталось решить составленную совокупность. Все уравнения совокупности – простейшие иррациональные. Первое легко решается по определению корня. Очевидно, второе и третье уравнение решений не имеют, так как в левых частях корни четной степени, а в правых – отрицательные числа (см. решение иррациональных уравнений методом оценки). Первое же уравнение корень имеет:

Таким образом, решением совокупности является число 18, оно же является решением исходного уравнения. На всякий случай можно провести проверку корня уравнения:

18.