Решить иррациональное уравнение

Невозможно не заметить, что одна подкоренная дробь есть перевернутая другая. А это подсказывает, что можно пробовать решать уравнение методом введения новой переменной. Напомним последовательность действий для этого метода:

• Сначала вводится новая переменная.
• Дальше решается уравнение с новой переменной. Если оно решений не имеет, то не имеет решений и исходное уравнение. Если же оно имеет решение, то выполняются следующие шаги.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого в случае единственного корня составляется одно уравнение, в случае нескольких корней – составляется совокупность уравнений, а в случае бесконечного множества корней составляется совокупность уравнений и/или неравенств.
• Решается составленное уравнение или совокупность, найденное решение дает искомое решение исходного уравнения.

Какое выражение примем в качестве новой переменной? Так как взаимно обратные дроби находятся под корнями, причем показатели корней одинаковые, то в качестве новой переменной t целесообразно взять один из этих корней. Примем . Тогда второй корень выражается через t как 1/t, что вытекает из равенства , справедливого на ОДЗ переменной x для исходного уравнения в силу свойства корня из произведения. Таким образом, введение новой переменной приводит нас к уравнению .

Теперь нам нужно решить рациональное уравнение:

Возвращаемся к старой переменной. Так как мы принимали и нашли t₁=−4, t₂=1, то составляем совокупность двух уравнений: .

Осталось решить совокупность. Она содержит два простейших иррациональных уравнения. Первое иррациональное уравнение решим методом оценки. Оно, очевидно, решений не имеет, так как слева находится корень четной степени, а справа - отрицательное число. Второе уравнение удобно решить по определению корня. Решаем второе уравнение:

Итак, совокупность уравнений имеет единственный корень x=0, который является единственным корнем исходного иррационального уравнения.

0.