Решите иррациональное уравнение

Под корнями видны одинаковые корни . Это подсказывает попробовать перейти к новой переменной, для чего корни заменить новой переменной, после чего выразить оставшиеся старые переменные через новую. Итак, будем решать иррациональное уравнение методом введения новой переменной.

Расположим перед глазами алгоритм выбранного метода решения:

• Вводится новая переменная.
• Решается уравнение с новой переменной.
  • Если оно не имеет решений, то не имеет решений и исходное уравнение.
  • Если же оно имеет решения, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной, для чего в зависимости от количества найденных корней составляется уравнение, совокупность уравнений или совокупность уравнений и/или неравенств.
• Решается составленное уравнение или совокупность, это дает искомые решения исходного уравнения.

Переходим непосредственно к процессу решения.

Принимаем . Из этого равенства выражаем x через t. Имеем , , x−4=t², x=t²+4. Подставим эти результаты в исходное уравнение: .

Решим полученное иррациональное уравнение с новой переменной. Сначала упростим его вид до , после чего призовем на помощь метод возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Возвращаемся к старой переменной. Мы принимали и нашли t=2. Это приводит нас к уравнению . Это простейшее иррациональное уравнение, которое удобнее всего решить по определению корня:

Так мы нашли единственный корень x=8.

Для страховки выполним проверку подстановкой:

8.