Решите уравнение

Как всегда первым встает вопрос о методе решения. Чтобы определиться с методом, мысленно пробегаем список известных методов решения иррациональных уравнений, прикидывая возможность их использования в данном случае. Методом решения уравнений по определению корня заданное уравнение не решить. Не видно возможности применения и метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Что можно сказать про метод введения новой переменной? Вообще, возможность его применения просматривается благодаря наличию корней с кратными показателями. Так в нашем случае на ОДЗ () в силу определения корня и свойств корней имеет место равенство , которое позволяет провести равносильное преобразование уравнения, при помощи которого перейти к равносильному уравнению . А здесь очевидно выражение для введения новой переменной.

Итак, от исходного уравнения переходим к равносильному уравнению и дальше действуем по методу введения новой переменной. Освежим в памяти алгоритм выбранного метода.

• Вводится новая переменная g(x)=t.
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого в случае одного корня составляется уравнение g(x)=t₁, в случае двух и большего конечного числа n корней - совокупность уравнений вида , а в случае бесконечного числа корней, формирующих числовое множество T, – совокупность уравнений и/или неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T.
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность.

Проделаем предписанные алгоритмом действия.

Вводим новую переменную. Для этого принимаем . При этом уравнение принимает вид .

Теперь нам нужно решить составленное уравнение. Это рациональное уравнение, решаем его соответствующим образом:

Мы нашли единственный корень уравнения с новой переменной. Это t=2.

Переходим к третьему шагу алгоритма - возвращаемся к старой переменной. Для этого вспоминаем, что мы принимали , а также учитываем, что на предыдущем шаге нашли единственный корень t=2. Это позволяет нам записать уравнение . Остается решить его.

Уравнение является простейшим иррациональным уравнением, его решение удобно получить на базе определения корня:

Таким образом, исходное иррациональное уравнение имеет единственный корень x=64.

Сделаем проверку корня уравнения для самоконтроля:

64.