Пример

Решить иррациональное уравнение

Решение

Сначала нужно определиться, каким методом решать заданное иррациональное уравнение. Можно попробовать уединить радикал и решать иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в квадрат. Но это приведет к необходимости решать уравнение четвертой степени, что часто проблематично. Поэтому стоит проанализировать, нет ли более простого способа решения. Что можно заметить: если вынести за скобки числовой коэффициент 2 у первых двух слагаемых в левой части уравнения, то откроется возможность введения новой переменной x2+x=t, а это приведет к более простому уравнению. Так что после вынесения двойки за скобки можно пробовать решить уравнение методом введения новой переменной. Итак, план действий ясен: выносим двойку за скобки, после чего действуем по методу введения новой переменной. Реализуем его.

Выносим за скобки двойку: . Это равносильное преобразование уравнения, поэтому полученное уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение.

Теперь решаем уравнение методом введения новой переменной. Вот его алгоритм:

  • Вводится новая переменная g(x)=t.
  • Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
    • если уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
    • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
  • Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого в зависимости от количества найденных корней составляется уравнение, совокупность уравнений или совокупность уравнений и/или неравенств.
  • Решается составленное уравнение или составленная совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Проделаем необходимые действия.

Вводим новую переменную x2+x=t, при этом от уравнения со старой переменной x переходим к уравнению с новой переменной t.

Теперь нам нужно решить полученное уравнение с новой переменной. Это уравнение иррациональное, его можно решить методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, предварительно уединив радикал:

Мы выяснили, что уравнение с новой переменной t имеет единственный корень t=0.

Теперь возвращаемся к старой переменной. Для этого вспоминаем, как мы вводили новую переменную: x2+x=t, и учитываем найденный на предыдущем шаге корень t=0, это позволяет нам составить уравнение x2+x=0. Остается лишь решить его.

x2+x=0 - неполное квадратное уравнение, которое решается методом разложения на множители:
x·(x+1)=0
x=0 или x+1=0
x1=0 или x2=−1.

Отсюда делаем вывод, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня 0 и −1.

В заключение скажем, что для введения новой переменной можно было не ограничиваться вынесением двойки за скобку, а пойти в преобразованиях дальше и привести уравнение к виду , после чего уже вводить новую переменную как .

Ответ:

0, −1.

К началу страницы