Пример
Решите иррациональное уравнение
Решение
Сразу видно, что можно ввести новую переменную . Это упростит вид исходного уравнения, ведь корня под корнем не будет, и сделает более понятной структуру уравнения. Понятно, что переменную можно ввести и иначе, например, . При этом второе подкоренное выражение выражается через новую переменную t как t−1. Или можно принять , откуда заменится на t+1. Можно придумать и другие варианты замен, но остановимся на первом.
Итак, проведем решение уравнения методом введения новой переменной, приняв . Расположим перед глазами алгоритм выбранного метода:
- Ввести новую переменную g(x)=t.
-
Решить полученное уравнение с новой переменной. При этом
- если уравнение не имеет корней, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
- если уравнение имеет корни, то перейти к следующим шагам алгоритма.
- Возвратиться к старой переменной.
- И решить составленное на предыдущем шаге уравнение или совокупность.
Вводим новую переменную . Уравнение приобретает вид . Так от исходного довольно сложного с виду иррационального уравнения мы перешли опять же к иррациональному уравнению, но более простому.
Теперь нам нужно решить уравнение с новой переменной. Это уравнение, как мы уже сказали, иррациональное, в его записи два корня, причем радикал уже уединен. Для решения такого иррационального уравнения подходит метод возведения обеих частей уравнения в квадрат:
Уравнение с новой переменной имеет один корень t=4, поэтому, для возвращения к старой переменной нам нужно записать уравнение. Новую переменную мы вводили как , и на предыдущем шаге нашли t=4, откуда .
Осталось решить составленное уравнение со старой переменной. Это опять же иррациональное уравнение, причем простейшее иррациональное уравнение, и его удобно решить по определению корня:
На этом решение завершено, исходное уравнение имеет два корня x1=−2 и x2=5.
Проведем проверку подстановкой для самоконтроля:
Стоит отметить, что можно было обойтись без введения новой переменной, а сразу решать иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но в этом случае придется работать с более громоздкими выражениями. Покажем этот подход к решению для сравнения.
Ответ:
−2, 5.