Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Для заданного иррационального уравнения (при необходимости повторите что такое иррациональное уравнение) очевидна возможность введения новой переменной: . Поэтому воспользуемся методом введения новой переменной. Вкратце напомним алгоритм метода:
- Вводим новую переменную g(x)=t.
-
Решаем полученное уравнение с новой переменной. При этом
- если уравнение не имеет корней, то делаем вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
- если уравнение имеет корни, то выполняем следующие шаги алгоритма.
- Осуществляем возврат к старой переменной. Для этого составляем уравнение или совокупность уравнений и/или неравенств (в зависимости от количества найденных на предыдущем шаге корней).
- Решаем составленное уравнение или совокупность, что дает искомое решение.
На первом шаге соответствующего алгоритма нам нужно ввести новую переменную. С ней мы уже определились, . Заменяем в исходном уравнении на t, при этом приходим к уравнению с новой переменной: .
Теперь нам нужно решить полученное уравнение. Это рациональное уравнение, их мы решать умеем:
Мы решили уравнение с новой переменной t, оно имеет два корня t1=−2 и t2=1. Переходим к третьему шагу алгоритма.
Возвращаемся к старой переменной x. Новую переменную мы вводили как , при этом нашли два значения новой переменной t1=−2 и t2=1. Поэтому, приравниваем корень из двух минус икс к −2 и к 1, объединяя эти уравнения знаком совокупности: .
Остается выполнить последний шаг решения иррационального уравнения методом введения новой переменной - решить совокупность уравнений . Для этого по отдельности решим каждое уравнение и объединим их решения. Очевидно, что и - простейшие иррациональные уравнения:
Итак, . То есть, решаемое иррациональное уравнение имеет один корень x=1.
Для полной уверенности можно выполнить проверку подстановкой:
Покажем альтернативный способ решения – через преобразование уравнений.
Известно, что умножение обеих частей уравнения на не обращающееся в нуль выражение есть равносильное преобразование уравнения. Поэтому, умножив обе части иррационального уравнения на не обращающееся в нуль выражение (для любого x из ОДЗ переменной для исходного уравнения выражение принимает положительное значение, так как корень – число неотрицательное да еще плюс три), получим равносильное уравнение. Имеем . Упростим его вид, осуществив еще ряд равносильных преобразований на ОДЗ:
Так проделанные преобразования позволили нам перейти от исходного иррационального уравнения к простейшему иррациональному уравнению. Решим его методом возведения обеих частей в квадрат:
Итак, полученное после преобразований уравнение имеет единственный корень 1, а так как это уравнение равносильно исходному, то и исходное иррациональное уравнение имеет единственный корень 1.
Подведем итог. Мы подробно разобрали решение иррационального уравнения двумя способами – методом введения новой переменной и через преобразование уравнения. В данном случае, да и во многих других, метод введения новой переменной выглядит предпочтительнее, так как проводимые по нему действия проще. Действительно, при проведении преобразований иррациональных уравнений очень непросто оставаться в рамках равносильности. В любом случае, действуйте так, как Вам удобнее.
Ответ:
1.