Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Напомним алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

• Сначала нужно от иррационального уравнения перейти к более простому в плане решения уравнению, для чего нужно по кругу необходимое число раз выполнить следующие три действия:
  • Уединение радикала.
  • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощение вида полученного уравнения.
• Дальше необходимо решить полученное уравнение.
• Наконец, если на первом этапе хотя бы раз осуществлялось возведение в четную степень, нужно каким-либо образом отсеять посторонние корни, например, путем проверки.

Чуть-чуть забежим вперед и скажем, что нам на первом шаге потребуется два раза осуществить проход цикла, содержащего три действия – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида, это позволит освободиться и от внешнего корня, и от корня под ним. Сделаем это.

Уединяем радикал: .

Так как показатель корня равен пяти, то возводим обе части уравнения в пятую степень: .

Упрощаем вид полученного уравнения, осуществляя преобразование уравнений. Первое преобразование – это замена выражения в левой части тождественно равным ему выражением , которая базируется на определении корня. Второе преобразование – это замена числового выражения в правой части его значением – минус единицей. В результате этих преобразований приходим к уравнению . Теперь видна возможность уединить радикал, чтобы дальше вновь прибегнуть к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Так

Видим один оставшийся корень, поэтому еще раз проделаем по кругу три действия первого шага алгоритма.

Уединять радикал не нужно, так как он уже уединен.

Здесь корень квадратный, поэтому возводим обе части в квадрат: .

Упрощаем вид:
x²+4·x+4=9
x²+4·x+4−9=0
x²+4·x−5=0.

Итак, после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов, получили квадратное уравнение. Уравнения этого вида мы решать умеем, поэтому на этом завершаем первый этап и переходим ко второму этапу - решению полученного уравнения.

Решить квадратное уравнение x²+4·x−5=0 легко, например, через дискриминант (в данном случае удобнее использовать четвертую часть дискриминанта, так как коэффициент при x четный):

Так мы нашли два корня квадратного уравнения. На этом второй этап завершен.

Остается пройти последний этап метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае провести проверку на наличие посторонних корней необходимо, ведь на первом этапе при втором проходе цикла мы обе части уравнения возводили в квадрат – в четную степень, а, как известно, это преобразование приводит к уравнению-следствию, значит, в результате его проведения могли появиться посторонние корни. Подставим найденные выше корни x₁=−5 и x₂=1 в исходное иррациональное уравнение . Имеем

Проверка показала, что среди найденных на втором этапе корней нет посторонних для исходного уравнения, значит, они оба являются искомыми корнями.

−5, 1.