Пример
Решить уравнение
Решение
Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.
Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:
-
Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
- Уединяем радикал.
- Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
- Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
- Во-вторых, решаем полученное уравнение.
- В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.
Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.
Уединение радикала приводит нас к уравнению .
Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.
Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением . Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 22 заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:
Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.
В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.
Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .
Упрощаем вид полученного уравнения:
x+2=9,
x=7.
Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.
Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.
Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через проверку подстановкой. Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем
Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.
На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.
Приведем краткий вариант решения:
Ответ:
7.