Решите уравнение

Заданное уравнение – иррациональное (см. что такое иррациональное уравнение). Решить его можно, например, методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Общий алгоритм выбранного метода таков:

• Проводится замена исходного уравнения более простым уравнением путем циклического выполнения трех действий:
  • Уединение радикала (произведения радикалов, дроби с радикалом в числителе и/или знаменателе).
  • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощение вида уравнения.
• Решается полученное уравнение.
• Делается проверка для отсеивания посторонних корней, если выполнялось возведение в четную степень.

Первый этап. Выполним первый проход цикла:

Уединяем дробь с радикалом, имеем .

Возводим обе части уравнения в квадрат (так как мы хотим избавиться от квадратного корня) .

Упрощаем полученное уравнение, выполняя преобразования уравнений, состоящие в переносе выражения из одной части в другую с противоположным знаком и замене выражений тождественно равными им выражениями. Замены будем проводить на базе одного свойства степени - степени дроби, а также на базе определения корня:

Так мы получили дробное рациональное уравнение. Такие уравнения мы решать умеем, поэтому в последующих проходах цикла из трех действий нет необходимости. На этом первый шаг алгоритма завершен. Переходим ко второму этапу – решению полученного уравнения.

Решаем уравнение:

Итак, уравнение, полученное на первом этапе решения, имеет два корня x₁=6 и x₂=18.

Третий этап. Найденные корни необходимо проверить, не являются ли они посторонними корнями для исходного уравнения. Такая проверка обязательна, так как на первом этапе мы возводили обе части уравнения в квадрат, что могло послужить появлению посторонних корней. Также посторонние корни могли возникнуть из-за расширения ОДЗ при переходе от уравнения к уравнению . Так что подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, верные или неверные числовые равенства при этом получаются:

Таким образом, оба найденных корня являются корнями иррационального уравнения .

6, 18.