Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Если вид иррационального уравнения отличен от простейшего (см. простейшие иррациональные уравнения), а у нас именно так, то решение уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень проходит в три этапа:

• Первый этап. Переход к более простому уравнению, которое мы в состоянии решить, для чего циклически выполняется тройка действий:
  • уединяется радикал (произведение радикалов, дробь с радикалом в числителе и/или знаменателе),
  • возводятся обе части уравнения в одну и ту же степень,
  • упрощается вид уравнения.
• Второй этап. Решение полученного уравнения.
• Третий этап. Отсеивание посторонних корней, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень.

Итак, пройдем первый этап. Для этого будем циклически выполнять тройку действий - уединение радикала, возведение в степень обеих частей уравнения, упрощение вида полученного уравнения – до получения уравнения, которое мы можем решить.

Начинаем с уединения радикала. Очевидно, для этого нужно перенести единицу из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Имеем .

Радикал уединен. Показатель корня равен двум, поэтому будем возводить обе части уравнения во вторую степень, то есть, в квадрат, что в дальнейшем гарантирует нам освобождение от уединенного корня. Имеем .

Теперь упростим вид полученного уравнения, выполняя преобразование уравнений. Во-первых, отталкиваясь от определения корня, заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 3·x²−x−2, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части уравнения тождественно равным ему выражением x²−2·x+1, то есть, перейдем к уравнению 3·x²−x−2=x²−2·x+1. Во-вторых, перенесем выражение из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, имеем 3·x²−x−2−(x²−2·x+1)=0. А дальше раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
3·x²−x−2−x²+2·x−1=0,
2·x²+x−3=0.

Так, выполнив цикл из трех действий один раз, мы получили квадратное уравнение. Квадратные уравнения мы решать умеем, поэтому первый этап, заключающийся в переходе от исходного уравнения к уравнению, которое мы в состоянии решить, можно считать пройденным, и в заходе на второй круг цикла из трех действий (уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида) нет надобности. Переходим ко второму этапу, на котором мы будем решать полученное квадратное уравнение.

Решение квадратного уравнения проведем через дискриминант:

Для завершения решения осталось пройти третий этап – отсеять посторонние корни. В нашем случае это обязательно, так как на первом этапе мы возводили обе части уравнения в четную степень – в квадрат, это могло привести к появлению посторонних корней. Также посторонние корни могли возникнуть из-за перехода от уравнения к уравнению 3·x²−x−2=x²−2·x+1, ведь при таком переходе могло произойти расширение ОДЗ: для первого уравнения ОДЗ определялось условием 3·x²−x−2≥0, а для второго уравнения ОДЗ, очевидно, нет условий, вносящих ограничения на значения переменной, то есть, здесь ОДЗ есть множество всех действительных чисел R. Итак, отсеивание посторонних корней необходимо. Проведем отсеивание через проверку подстановкой:

Таким образом, корнем исходного уравнения является лишь единица, а −3/2 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Покажем краткую форму записи решения:

1.