Решить иррациональное уравнение

Заданное иррациональное уравнение является простейшим иррациональным уравнением с нечетным показателем корня, то есть, имеет вид , где 2·k+1=3, f(x)=4·x−2·x²−1, g(x)=x. Напомним алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня методом возведения в одну и ту же степень обеих частей уравнения:

• Обе части иррационального уравнения возводятся в степень 2·k+1.
• Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Начинаем с возведения обеих частей уравнения в куб, это нам дает уравнение . Известно, что возведение обеих частей уравнения в натуральную нечетную степень дает равносильное уравнение, поэтому, полученное уравнение равносильно исходному.

Проведем решение полученного уравнения, осуществляя преобразование уравнения. Оперевшись на определение корня, заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным выражением 4·x−2·x²−1. Это приведет нас к рациональному уравнению 4·x−2·x²−1=x³. Заметим, что при этом преобразовании не изменяется ОДЗ, поэтому, проделанное преобразование равносильное, и полученное уравнение равносильно предыдущему.

Продолжаем проводить преобразования:
4·x−2·x²−1−x³=0,
−x³−2·x²+4·x−1=0,
x³+2·x²−4·x+1=0.

Так посредством равносильных преобразований мы пришли к кубическому уравнению. Его коэффициенты целые, поэтому есть смысл проверить, имеет ли это уравнение рациональные корни. Ими могут быть лишь делители свободного члена, в нашем случае это числа ±1. Подставив единицу в кубическое уравнение x³+2·x²−4·x+1=0, получаем верное равенство 1³+2·1²−4·1+1=0, значит, x₁=1 – корень уравнения. Теперь, чтобы определиться с остальными корнями, разделим столбиком многочлен x³+2·x²−4·x+1 на двучлен x−1:

Таким образом, кубическое уравнение x³+2·x²−4·x+1=0 можно представить в виде (x−1)·(x²+3·x−1)=0, и найти его оставшиеся корни, решив квадратное уравнение x²+3·x−1=0.

Так найдены все корни кубического уравнения x³+2·x²−4·x+1=0, их три: . Так как от исходного уравнения мы пришли к решенному кубическому уравнению только через равносильные преобразования, то эти уравнения равносильны, то есть, они имеют одинаковые множества решений. Таким образом, иррациональное уравнение имеет три корня: .

В заключение еще раз обратим Ваше внимание на то, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень, в отличие от возведения в четную степень, не может привести к возникновению посторонних корней. Покажем, с какими вычислительными сложностями нам бы пришлось столкнуться, если бы мы забыли, что метод возведения обеих частей уравнения в нечетную степень не требует отсеивания посторонних корней: