Пример

Решить иррациональное уравнение

Решение

Это простейшее иррациональное уравнение с четным показателем корня, то есть, уравнение вида , где 2·k=4, f(x)=3·x3−2·x2−32·x+49, g(x)=x−1. Подобные уравнения можно решать методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. Вкратце напомним алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с четными показателями корней:

  • Возводим обе части иррационального уравнения в одну и ту же степень 2·k.
  • Решаем полученное уравнение и отсеиваем посторонние корни, если корни есть вообще.

Сделаем предписанное.

Начинаем с возведения в степень обеих частей уравнения. Возводить их будем в четвертую степень, так как показатель корня равен 4, что дальше позволит избавиться от корня. Имеем . Мы знаем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию. То есть, полученное уравнение является следствием исходного. Этим и объясняется необходимость отсеивания посторонних корней на последнем этапе метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Теперь решаем уравнение . Справиться с этой задачей нам помогут преобразования уравнения. Первые преобразования, которые мы проведем, будут состоять в замене выражений в левой и правой части уравнения тождественно равными им выражениями. Выражение в левой части тождественно равно выражению 3·x3−2·x2−32·x+49, что следует из определения корня, а выражение в правой части в силу формулы бинома Ньютона тождественно равно выражению x4−4·x3+6·x2−4·x+1. Итак, переходим к уравнению 3·x3−2·x2−32·x+49=x4−4·x3+6·x2−4·x+1. Это уравнение есть следствие предыдущего, так как приводящее к нему преобразование, возможно, расширяет ОДЗ: до преобразования есть выражение под знаком корня четной степени, а после преобразования ограничений на ОДЗ нет.

Уравнение 3·x3−2·x2−32·x+49=x4−4·x3+6·x2−4·x+1 путем переноса слагаемых из правой части в левую с противоположным знаком, группировки и приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых с целью расположения их в порядке убывания степеней, а также умножения обеих частей уравнения на −1, приводится к равносильному уравнению x4−7·x3+8·x2+28·x−48=0. Материал статьи решение уравнений четвертой степени позволяет подобрать подходящий метод его решения. Для начала следует поискать рациональные корни. Это можно сделать, например, перебрав делители свободного члена −48, то есть, числа ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24, ±48 (при необходимости смотрите статью все делители числа), привлекая из соображений рациональности схему Горнера:

Таким образом, уравнение x4−7·x3+8·x2+28·x−48=0 можно переписать в виде (x−2)·(x+2)·(x2−7·x+12)=0, откуда два корня видны сразу x1=2, x2=−2, а остальные корни находятся при решении квадратного уравнения x2−7·x+12=0:

Итак, уравнение, полученное после возведения в четвертую степень исходного уравнения, дальнейшего перехода к уравнению-следствию и нескольким равносильным уравнениям, имеет четыре корня 2, −2, 4 и 3. Остается провести отсеивание посторонних корней. Сделаем это через подстановку корней в исходное уравнение . Подставляем их по очереди:

Вывод, из четырех корней лишь три являются искомыми корнями иррационального уравнения, это числа 2, 3 и 4. Число −2 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Ответ:

2, 3, 4

К началу страницы