Решить иррациональное уравнение

Это простейшее иррациональное уравнение с четным показателем корня. Такие уравнения можно решать методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с четными показателями корней таков:

• Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же в степень 2·k.
• Решается полученное уравнение. Если уравнение не имеет корней, то делается вывод, что и исходное уравнение не имеет корней. Если уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней.

В нашем случае избавиться от корня позволяет возведение в шестую степень. Так от исходного уравнения переходим к уравнению . Известно, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию. Значит, полученное уравнение является следствием исходного. Поэтому, нужно будет не забыть отсеять посторонние корни.

Дальше решение уравнения будем проводить при помощи преобразований уравнения. Первое, что тут следует сделать, так это заменить выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением x³−5·x+1 (тождественно равенство слеует из определения корня), а числовое выражение в правой части – его значением 1. Указанные преобразования дают уравнение x³−5·x+1=1. Заметим, что полученное уравнение является следствием уравнения , так как в результате этого преобразования, возможно, произошло расширение ОДЗ: до преобразования под корнем четной степени было выражение, а после проведения преобразования ограничений на ОДЗ не стало.

Теперь нам нужно решить уравнение x³−5·x+1=1. После вычитания из его обеих частей единицы получаем равносильное кубическое уравнение x³−5·x=0. В данном случае решение кубического уравнения удобно провести через разложение выражения в его левой части на множители путем вынесения за скобки общего множителя x:

Так как в процессе решения уравнения были преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям, то нужно отсеять посторонние корни. Осуществим проверку подстановкой, то есть, по очереди подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, верные или неверные числовые равенства при этом получаются:

Вывод: все три найденных корня являются корнями иррационального уравнения .

Оформим решение кратко: