Пример

Решите иррациональное уравнение

Решение

Очевидно, это простейшее иррациональное уравнение с корнем четной степени в его левой части: , где 2·k=2, f(x)=8·x−15, g(x)=−x. Решение проведем методом возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень, в нашем случае в квадрат. Напомним стандартную схему решения простейшего иррационального уравнения с четным показателем корня выбранным методом:

  • Возводим обе части иррационального уравнения в степень 2·k.
  • Решаем полученное уравнение. Если уравнение не имеет корней, то делаем вывод, что и исходное уравнение не имеет корней. Если уравнение имеет корни, то проводим отсеивание посторонних корней.

Сначала приведем решение с очень подробными пояснениями его хода, в конце дадим его в краткой форме.

Итак, начинаем с возведения обеих частей уравнения в квадрат. То есть, переходим от исходного уравнения к уравнению . Известно, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень приводит к уравнению-следствию. Значит, полученное уравнение является следствием исходного уравнения. Поэтому нам придется позаботиться об отсеивании посторонних корней. Но об этом чуть позже, сейчас нам нужно решить уравнение .

Для его решения нам потребуется провести несколько преобразований уравнения. На базе определения корня заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 8·x−15. Учитывая свойства степеней, а именно, свойство степени произведения, выражение в правой части заменим тождественно равным ему выражением x2. То есть, перейдем к уравнению 8·x−15=x2. Заметим, что в результате проделанных преобразований расширилась ОДЗ. Действительно, ОДЗ для уравнения находим из условия 8·x−15≥0, откуда x≥15/8, а ОДЗ для полученного уравнения 8·x−15=x2 есть множество всех действительных чисел. Это нам указывает на то, что при таком переходе могут возникнуть посторонние корни и необходимо будет провести их отсеивание.

Уравнение 8·x−15=x2 решить просто. Оно равносильно квадратному уравнению x2−8·x+15=0. Найти его решения можно, например, по теореме Виета или через дискриминант. Пойдем по второму более привычному пути, причем удобнее действовать через четвертую часть дискриминанта D1:

Так решено уравнение x2−8·x+15=0, оно имеет два корня x1=5, x2=3. Так как это уравнение является следствием исходного уравнения (в цепочке преобразований были переходы к уравнениям-следствиям), то нужно отсеять посторонние корни. Осуществим проверку подстановкой:

Для x1=5 имеем

Это неверное числовое равенство, значит, x1=5 – посторонний корень для уравнения .

Теперь подставляем x2=3, это дает

Это тоже неверное равенство. Значит, x2=3 – посторонний корень для уравнения .

Проверка показала, что оба найденных корня x1=5, x2=3 являются посторонними для иррационального уравнения, заданного изначально. Значит, иррациональное уравнение не имеет корней.

Краткое решение:

Ответ:

нет решений.

К началу страницы