Решить иррациональное уравнение

Мы имеем дело с иррациональным уравнением в его простейшем виде с четным показателем корня, то есть, с уравнением , где 2·k – четный натуральный показатель корня, f(x), g(x) – рациональные выражения. В нашем случае k=1, f(x)=1−5·x, g(x)=x−3. Такое иррациональное уравнение можно решить методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Напомним алгоритм этого метода решения для простейшего иррационального уравнения с четным показателем корня:

• Возводим в одну и ту же четную степень, равную показателю корня в левой части уравнения, обе части уравнения.
• Решаем полученное уравнение. Если оно не имеет решений, то не имеет решений и исходное уравнение. Если решения есть, то отсеиваем посторонние корни.

Пройдем эти шаги.

Решаемое иррациональное уравнение в левой части содержит квадратный корень (показатель корня равен 2), поэтому возводим обе части уравнения в квадрат, что в дальнейшем позволит избавиться от знака корня. Это дает нам уравнение , причем, это уравнение-следствие, так как мы знаем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию.

Теперь нам нужно решить полученное уравнение . Его решение будем вести через преобразование уравнений.

На базе определения корня заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным выражением 1−5·x, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», выражение в правой части заменим тождественно равным ему выражением x²−6·x+9. Это нас приводит к уравнению 1−5·x=x²−6·x+9. Заметим, что при таком переходе происходит расширение ОДЗ: для уравнения ОДЗ определяется условием 1−5·x≥0, которое задает числовое множество x≤1/5, а для полученного уравнения 1−5·x=x²−6·x+9 ОДЗ, очевидно, есть множество всех действительных чисел R. Значит, проведенные преобразования дают уравнение-следствие.

Дальше полученное уравнение 1−5·x=x²−6·x+9 путем равносильных преобразований, заключающихся в переносе слагаемых с противоположным знаком, группировке и приведении подобных слагаемых, а также умножении обеих частей уравнения −1, приводится к квадратному уравнению x²−x+8=0.

Полученное квадратное уравнение решим через дискриминант. Вычисляем дискриминант: D=(−1)²−4·1·8=−31. Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Итак, уравнение x²−x+8=0 не имеет корней. Так как это уравнение является следствием исходного уравнения (в цепочке преобразований были переходы к уравнениям-следствиям), то исходное иррациональное уравнение тоже не имеет корней.

Обычно решение описывается как можно более коротко, но, естественно, без ущерба для логики действий:

нет корней.