Решить иррациональное уравнение

Перед нами простейшее иррациональное уравнение с корнем четной степени в левой части и положительным числом в правой части, то есть, уравнение вида . Для решения таких уравнений подходит метод решения уравнений по определению корня. Этот метод решения при C≥0 состоит в переходе к равносильному уравнению C^2·k=f(x).

В нашем случае C=2 – положительное число, показатель корня 2·k равен 2 и f(x)=x²−5. Из уравнения и определения арифметического квадратного корня следует, что 2²=x²−5. Это уравнение равносильно исходному уравнению. Решаем его. Равносильные преобразования уравнения позволяют перейти от полученного уравнения к неполному квадратному уравнению x²=9, корни которого очевидны: −3 и 3. Так как последнее уравнение, корни которого мы только что нашли, равносильно исходному уравнению, то исходное уравнение тоже имеет два корня −3 и 3.

Так решено исходное иррациональное уравнение, оно имеет два корня −3 и 3.

Решение заданного уравнения можно было провести, рассматривая заданное уравнение не как уравнение вида , а как уравнение более общего вида . Покажем такой вариант для ознакомления, но сразу заметим, что на практике к нему прибегать нет смысла, так как решение получается длиннее. Такой подход уместен при решении иррациональных уравнений, в правых частях которых находятся выражения с переменными.

Решаемое иррациональное уравнение соответствует виду , показатель корня равен двум (это четное число), f(x)=x²−5 и g(x)=2. Из определения квадратного корня следует, что . То есть, . Так решение исходного иррационального уравнения сводится к решению системы . Так как неравенство 2≥0 верное вне зависимости от значения переменной x, то его можно исключить из системы. То есть, система имеет то же множество решений, что и ее первое уравнение 2²=x²−5. Оно в свою очередь равносильно неполному квадратному уравнению x²=9, откуда находим x=±3.

−3, 3.