Решите уравнение

Левая часть заданного уравнения представляет собой произведение трех выражений, в правой части находится нуль. Для решения уравнений такого вида можно использовать метод разложения на множители. По этому методу нам нужно перейти к совокупности уравнений, решить ее и взять все корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения. Проделаем требуемое.

В левой части исходного уравнения три множителя 2·x+7, sin(2·x)−1 и , поэтому, переходим к совокупности трех уравнений 2·x+7=0, sin(2·x)−1=0, . Чтобы решить совокупность уравнений, решим отдельно каждое ее уравнение, после этого объединим решения.

Линейное уравнение 2·x+7=0 имеет единственное решение x=−3,5.

Теперь решаем тригонометрическое уравнение sin(2·x)−1=0:

Осталось решить иррациональное уравнение . Для этого уединим радикал, после чего прибегнем к методу возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Таким образом, составленная выше совокупность имеет следующие корни: −3,5, , 0 и 2. Остается выяснить, какие из них принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. Другими словами, остается отсеять посторонние корни по ОДЗ или по условиям ОДЗ. В нашем случае несложно найти ОДЗ для исходного уравнения в виде числового множества:

Очевидно, −3,5 не принадлежит отрезку [−2, 2]. Из бесконечного множества чисел отрезку [−2, 2] принадлежит лишь одно – число . Действительно, число больше двух (при необходимости смотрите сравнение чисел), тем более, больше двух числа , а число меньше минус двух, тем более, меньше минус двух числа . Оставшиеся два корня 0 и 2, очевидно, принадлежат отрезку [−2, 2]. Таким образом, из всех корней совокупности области допустимых значений для исходного уравнения принадлежат только три: , 0 и 2. Следовательно, исходное уравнение имеет три корня 0, , 2.

0, , 2.