Решите уравнение

Нам требуется решить иррациональное уравнение. Решение будем вести через преобразование уравнения. Начнем с типичного для иррациональных уравнений преобразования – с возведения обеих частей уравнения в квадрат. Известно, что такое преобразование дает уравнение-следствие, то есть, уравнение, среди решений которого могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Значит, осуществив переход от исходного уравнения к уравнению , нам придется позаботиться об отсеивании посторонних корней.

Для решения уравнения требуется еще цепочка преобразований:

И прежде чем решить полученное уравнение, заметим, что первое преобразование этой цепочки расширяет ОДЗ, что также может быть причиной появления посторонних корней. Теперь решаем квадратное уравнение 4·x²−81·x−81=0:

Остается выполнить проверку с целью отсеивания посторонних корней. Проверки по ОДЗ в нашем случае будет мало, так как посторонние корни могли появиться не только из-за расширения ОДЗ, но и из-за возведения обеих частей уравнения в квадрат. Значит, нужно прибегать к проверке подстановкой. Но очевидно, что проверка подстановкой заставит нас помучиться с преобразованиями. Действительно, подстановка в исходное уравнение дает равенство , и чтобы выяснить, верное оно или нет, придется потрудиться с преобразованиями. Похожие проблемы возникнут и при подстановке второго корня. Покажем альтернативный подход.

Когда возводятся в четную степень обе части уравнения, имеющего вид , где n – четное число, то отсеивание посторонних корней можно проводить по условию g(x)≥0. Такой подход вытекает из определения корня: корень четной степени n есть неотрицательное число, n-ая степень которого равна подкоренному числу. Откуда .

Вид нашего уравнения как раз соответствует , значит, мы можем провести отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть из-за выбранного метода решения, по условию . Подставляем по очереди в это неравенство найденные корни и , и смотрим, верные или неверные числовые неравенства будут получаться. Выяснить это нам помогут свойства числовых неравенств:

Следовательно, является корнем уравнения, а - это посторонний корень для исходного уравнения.