Пример

Решите логарифмическое уравнение .

Решение

В нашем случае найти ОДЗ довольно просто, с этого и начнем, чтобы дальше при проведении преобразований уравнения контролировать, что происходит с ОДЗ:

Таким образом, ОДЗ для исходного уравнения есть множество .

Потенцируя, получаем:

Переход от исходного уравнения к уравнению (x−2)·(x+1)=2·x+5 приводит к расширению ОДЗ, а это, как известно, может привести к появлению посторонних корней. Значит, нам обязательно нужно провести отсеивание посторонних корней. Здесь мы можем провести отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как других причин возможного появления посторонних корней, кроме расширения ОДЗ, нет. Сделаем это.

Нам нужно выяснить, принадлежат ли корни и множеству . В нашем случае это не очень очевидно, поэтому нужно провести некоторую работу. Можно пойти путем оценки. Отталкиваться будем от того, что . Отсюда в силу свойств числовых неравенств следует, что

и

Отсюда видно, что оба корня и принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. Значит, они оба являются искомыми корнями.

Давайте для интереса посмотрим, не проще ли было провести отсеивание посторонних корней через подстановку:

Аналогично проводится проверка и второго корня .

Видно, что в нашем случае проверка подстановкой является более трудоемким процессом, чем отсеивание посторонних корней по ОДЗ.

Ответ:

К началу страницы