Решение уравнений высших степеней.
В общем случае уравнение степени выше четвертой не разрешимо в радикалах. Однако, иногда можно отыскать корни многочлена, который находится в левой части уравнения высшей степени, представив его в виде призведения многочленов степени не выше четвертой. Таким образом, разложение многочлена на множители лежит в основе решения таких уравнений, поэтому, рекомендуем подробно изучить этот раздел, прежде чем двигаться дальше.
Достаточно часто рассматриваются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. В этом случае можно попытаться найти рациональные корни уравнения, после чего можно разложить на множители многочлен, находящийся в левой части исходного уравнения, тем самым перейти к нахождению корней уравнения, степень которого будет ниже.
В этой статье как раз разберемся с решением уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.
Любое уравнение вида 
можно свести к приведенному уравнению той же степени домножив обе его части на 
и выполнив замену переменной вида 
:
Полученные коэффициенты 
тоже будут целыми.
Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида 
.
Алгоритм решения.
-
Находим целые корни уравнения.
Целые корни уравнения
, i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена 
. То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде 
, где 
- корень уравнения, а 
- частное от деления 
на 
.
Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение
, начиная с (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень 
найден и уравнение предстает в виде 
, где 
- частное от деления 
на 
.
И так продолжаем перебор делителей, начиная с
. В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде 
, где 
- многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.
Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.
-
Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения
любым способом.
Разберем алгоритм на примере.
Пример.
Решить уравнение 
.
Решение.
Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.
Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.
Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.
При х=1 имеем 
. То есть х=1 является корнем уравнения.
Разделим многочлен 
на (х-1) столбиком:
Следовательно, 
.
Продолжим перебор делителей, но уже для равенства 
:
При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.
Разделим 
на (х+1) столбиком:
Таким образом,
Продолжаем перебор делителей для равенства 
, начиная с х = -1:
Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.
Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена 
.
, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных 
.
Замечание.
Можно было использовать схему Горнера вместо деления многочленов столбиком.
Решение было бы следующим.
Как только выяснили, что x=1 является корнем уравнения, то имеем
Таблица коэффициентов схемы Горнера сразу дает коэффициенты частного от деления многочленов, то есть .
Как только выясняем, что х = -1 является следующим решением уравнения, то по схеме Горнера имеем
После этого шага метода Горнера приходим к разложению 
. После проверки оставшихся делителей для равенства переходим к нахождению оставшихся корней.
Ответ:
х = -1, х=1, .
Пример.
Найти корни уравнения 
.
Решение.
Делителями свободного члена являются числа 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 и -12.
Проводим проверку:
То есть, х=2 является корнем уравнения. Делим 
на х-2 по схеме Горнера:
Получаем 
.
Продолжаем проверку делителей для равенства 
, начиная с х=2.
То есть, х=2 опять является корнем. Делим 
на х-2
Получаем 
.
Проверять оставшиеся делители для равенства 
нет смысла, так как быстрее найти корни этого квадратного трехчлена через дискриминант.
Решаем квадратное уравнение:
.
Следовательно, корнями является комплексно сопряженная пара 
.
Ответ:
х=2, .
Пример.
Найти действительные корни уравнения 
.
Решение.
Домножим на 
обе части уравнения:
Проведем замену переменных y = 2x:
Пришли к приведенному уравнению четвертой степени. Решаем его по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня y = -2, y=3 и два комплексных (решение не приводим).
В силу замены, действительными корнями исходного уравнения являются 
и 
.
Смотрите также статьи решение кубических уравнений и решение уравнений четвертой степени.