Уравнения, решение уравнений Помощь в написании работ

Решение уравнений высших степеней.


В общем случае уравнение степени выше четвертой не разрешимо в радикалах. Однако, иногда можно отыскать корни многочлена, который находится в левой части уравнения высшей степени, представив его в виде призведения многочленов степени не выше четвертой. Таким образом, разложение многочлена на множители лежит в основе решения таких уравнений, поэтому, рекомендуем подробно изучить этот раздел, прежде чем двигаться дальше.

Достаточно часто рассматриваются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. В этом случае можно попытаться найти рациональные корни уравнения, после чего можно разложить на множители многочлен, находящийся в левой части исходного уравнения, тем самым перейти к нахождению корней уравнения, степень которого будет ниже.

В этой статье как раз разберемся с решением уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.


Уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Любое уравнение вида формула можно свести к приведенному уравнению той же степени домножив обе его части на формула и выполнив замену переменной вида формула:
формула

Полученные коэффициенты формула тоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида формула.

Алгоритм решения.

  1. Находим целые корни уравнения.

    Целые корни уравнения формула, i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена формула. То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде формула, где формула - корень уравнения, а формула - частное от деления формула на формула.

    Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение формула, начиная с формула (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень формула найден и уравнение предстает в виде формула, где формула - частное от деления формула на формула.

    И так продолжаем перебор делителей, начиная с формула. В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде формула, где формула - многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.

    Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

  2. Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения формула любым способом.

Разберем алгоритм на примере.


Пример.

Решить уравнение формула.

Решение.

Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.

Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.

Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.

При х=1 имеем формула. То есть х=1 является корнем уравнения.

Разделим многочлен формула на (х-1) столбиком:
формула

Следовательно, формула.

Продолжим перебор делителей, но уже для равенства формула:
формула

При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.

Разделим формула на (х+1) столбиком:
формула

Таким образом,
формула

Продолжаем перебор делителей для равенства формула, начиная с х = -1:
формула

Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.

Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена формула.

формула, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных формула.

Замечание.

Можно было использовать схему Горнера вместо деления многочленов столбиком.

Решение было бы следующим.

Как только выяснили, что x=1 является корнем уравнения, то имеем
формула

Таблица коэффициентов схемы Горнера сразу дает коэффициенты частного от деления многочленов, то есть формула.

Как только выясняем, что х = -1 является следующим решением уравнения, то по схеме Горнера имеем
формула

После этого шага метода Горнера приходим к разложению формула. После проверки оставшихся делителей для равенства формула переходим к нахождению оставшихся корней.

Ответ:

х = -1, х=1, формула.

Пример.

Найти корни уравнения формула.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 и -12.

Проводим проверку:
формула

То есть, х=2 является корнем уравнения. Делим формула на х-2 по схеме Горнера:
формула

Получаем формула.

Продолжаем проверку делителей для равенства формула, начиная с х=2.
формула

То есть, х=2 опять является корнем. Делим формула на х-2
формула

Получаем формула.

Проверять оставшиеся делители для равенства формула нет смысла, так как быстрее найти корни этого квадратного трехчлена через дискриминант.

Решаем квадратное уравнение:

формула.

Следовательно, корнями является комплексно сопряженная пара формула.

Ответ:

х=2, формула.

Пример.

Найти действительные корни уравнения формула.

Решение.

формула

Домножим на формула обе части уравнения:
формула

Проведем замену переменных y = 2x:
формула

Пришли к приведенному уравнению четвертой степени. Решаем его по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня y = -2, y=3 и два комплексных (решение не приводим).

В силу замены, действительными корнями исходного уравнения являются формула и формула.

Смотрите также статьи решение кубических уравнений и решение уравнений четвертой степени.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+