Пример

Решите уравнение

Решение

Нам нужно решить уравнение «дробь равна нулю». Схема решения таких уравнений следующая:

  • приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение,
  • отсеять корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.

Приравняв к нулю числитель, получаем уравнение . Произведение в левой части уравнения и нуль в правой части подталкивают провести решение методом разложения на множители. Согласно этому методу, нам нужно перейти к совокупности двух уравнений и sinx=0, решить ее, и взять корни, принадлежащие ОДЗ для решаемого уравнения .

Решение совокупности уравнений и sinx=0 будем вести стандартным путем: решим по очереди составляющие ее уравнения, и объединим полученные решения. Начинаем с решения показательного уравнения:
.

Теперь решаем второе уравнение совокупности sinx=0. Это простейшее тригонометрическое уравнение, оно имеет следующее решение: .

Таким образом, решениями совокупности являются и .

Все найденные корни принадлежат ОДЗ для уравнения , которая, очевидно, есть множество всех действительных чисел.

Итак, мы решили уравнение, полученное в результате приравнивания к нулю числителя дроби из исходного уравнения. Оно имеет следующие корни: и . Остается отсеять корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.

ОДЗ для исходного уравнения определяется системой . Решение системы в нашем случае сложностей не представляет, поэтому проведем его, чтобы дальше работать с ОДЗ в виде числового множества:

Очевидно, не принадлежит множеству (−5, −4)∪(−4, 1), значит, это посторонний корень для исходного уравнения. Из корней множеству (−5, −4)∪(−4, 1) принадлежат лишь два: и 0, значит, остальные являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет три корня: −4, и 0.

Ответ:

−4, и 0.

К началу страницы