Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры

Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0, где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x. В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

Метод решения уравнений f(x)/g(x)=0 можно отнести к общим методам решения уравнений, так как он имеет место для выражений f(x) и g(x) абсолютно любого вида.

В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0, состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0. Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x2−4)=0.

Базируется метод на следующем утверждении:

Утверждение

Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

Докажем это утверждение в следующем пункте.

К началу страницы

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b, b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b, b≠0 есть такое число c, что b·c=a) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x0)=0 является верным для любого числа x0, при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x0)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x0 принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0. Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x0)=0, C≠0 не может быть верным ни для какого числа x0. Следовательно, уравнение C/g(x)=0, C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. Для этого достаточно доказать два момента: первый - что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0, второй - что любой корень уравнения f(x)=0, принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, является корнем уравнения f(x)/g(x)=0.

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0. Тогда f(x0)/g(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x0)=0. А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)=0.

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x0 - корень уравнения f(x)=0. Так как x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, то дробь f(x0)/g(x0) имеет смысл. Так как x0 – корень уравнения f(x)=0, то f(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x0)/g(x0) равна нулю, то есть, f(x0)/g(x0)=0. А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0.

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

К началу страницы

Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:

  • Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0, то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
  • Если уравнение имеет вид C/g(x)=0, C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
  • Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0, где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
    • приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0,
    • отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).

Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0, есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0.

К началу страницы

Решение примеров

Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.

Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

К началу страницы