Логарифмические уравнения

Простейшие логарифмические уравнения

Самыми простыми логарифмическими уравнениями, как по виду, так и по решению, являются так называемые простейшие логарифмические уравнения. Сейчас мы дадим определение простейшего логарифмического уравнения, приведем примеры, после чего разберемся, как проводится решение простейших логарифмических уравнений.

О простейших логарифмических уравнениях в двух словах

Если в двух словах, то

А теперь подробно и с обоснованиями.

К началу страницы

Простейшее логарифмическое уравнение - это

Определение

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение logax=b, где a и b – данные числа, а x – неизвестная величина [1, с. 114].

Подразумевается, что число a в записанном определении положительное и отличное от единицы. В противном случае логарифм logax не определен, и уравнение logax=b не имеет смысла.

Приведем несколько примеров простейших логарифмических уравнений: log2x=5, log0,1x=−2, lgx=0, .

Нам известно, что числа могут записываться в виде числовых выражений, поэтому, в простейших логарифмических уравнениях в основании логарифмов и в правых частях могут быть как числа, так и числовые выражения. Например, log2x=lg5+1, - это тоже простейшие логарифмические уравнения.

К началу страницы

Простейшие логарифмические уравнения - решение

Решение простейших логарифмических уравнений базируется на следующем утверждении:

Утверждение

Простейшее логарифмическое уравнение logax=b, a>0, a≠1 имеет единственное решение, этим решением является x=ab.

Доказательство

Доказательство можно провести с опорой на свойства логарифмической функции.

Известно, что областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел. Из этого следует, что функция y=logax принимает в том числе и значение b. А это означает, что простейшее логарифмическое уравнение logax=b имеет корень. Обозначим этот корень x1. Этим доказано существование корня.

Теперь докажем единственность корня. Предположим, что простейшее логарифмическое уравнение logax=b кроме корня x1 имеет еще один корень x2, отличный от x1 (x1≠x2). Так как и x1 и x2 – корни уравнения y=logax, то и logax1=b и logax2=b – верные числовые равенства. Свойства числовых равенств позволяют осуществлять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычитание из равенства logax1=b равенства logax2=b дает верное числовое равенство logax1−logax2=b−b, и дальше logax1−logax2=0 и logax1=logax2. Но логарифмическая функция, как известно, является монотонной (возрастающей или убывающей), поэтому для x1≠x2 имеют место неравенства logax1<logax2 или logax1>logax2, а равенство logax1=logax2 - невозможно. Так методом от противного доказана единственность корня простейшего логарифмического уравнения.

Итак, доказано существование и единственность корня простейшего логарифмического уравнения logax=b. Остается доказать, что этим корнем является ab. Это напрямую следует из определения логарифма.

Доказанное утверждение позволяет практически устно решать простейшие логарифмические уравнения. Приведем пример.

Пример

Решите простейшее логарифмическое уравнение log2x=3

Решение

Мы знаем, что решение простейшего логарифмического уравнения logax=b, a>0, a≠1 - это x=ab. В нашем случае a=2, b=3. Таким образом, единственным корнем нашего уравнения log2x=3 является 23. Выполнив возведение в степень, имеем решение заданного простейшего логарифмического уравнения: x=8.

Обычно решение оформляется так:
log2x=3
x=23
x=8

Ответ:

8

Больше примеров с решениями смотрите в статье решение логарифмических уравнений.

Литература

  1. Алгебра и элементарные функции. Часть 2. Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы / [Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова]; под ред. доктора физико-математических наук О. Н. Головина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1967.

К началу страницы