Преобразование графиков элементарных функций.
В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция 
представляет собой квадратичную параболу 
, сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.
Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.
С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида 
, где 
- коэффициенты сжатия (при 
) или растяжения (при 
) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами 
и 
указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.
Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:
-
Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты
и отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
-
Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами
(в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
-
Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.
Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.
Теперь обо всем по порядку.
Начнем с геометрических преобразований графика степенной функции.
Пример.
С помощью преобразования графика функции 
построить 
.
Решение.
Функция представляется в следующем виде:
.
Имеем 
, причем перед этим коэффициентом знак «минус», а=-1/2 , b=3 . Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.
исходная степенная функция
растягиваем вдоль оси oy вдвое
отображаем симметрично относительно оси ox
сдвигаем вправо на 1/2
сдвигаем вверх на 3 единицы
Рассмотрим пример геометрических преобразований графика показательной функции.
Пример.
Построить график показательной функции 
.
Решение.
По свойствам степени преобразуем функцию:
Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции 
:
исходная показательная функция
сжимаем вдоль оси oy вдвое
растягиваем вдвое вдоль оси ox
отображаем симметрично относительно оси ox
отображаем симметрично относительно оси oy
сдвигаем вверх на 8 единиц
Сейчас проведем геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x).
Пример.
Построить 
преобразованием графика функции 
Решение.
Используем свойства логарифма:
Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:
график исходной функции натуральный логарифм
сжимаем вдоль оси oy втрое
растягиваем вдвое вдоль оси ox
отображаем симметрично относительно оси oy
сдвигаем вверх на 2 единицы
Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований . Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте период становится равным 
. То есть, при 
растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при 
сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.
Геометрические преобразования синусоиды y=sinx.
Пример.
С помощью преобразования графика функции y=sinx построить 
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем 
, причем перед коэффициентом стоит знак «минус», перед минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:
Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.
График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен 
. Максимумы находятся в точках 
, минимумы – в точках 
.
Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinx завершается.
Давайте рассмотрим геометрические преобразования тригонометрической функции y=cosx.
Пример.
Построить график функции 
преобразованием косинусоиды y=cosx.
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем 
, причем перед коэффициентом стоит знак «минус», перед минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:
Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках 
, минимумы – в точках 
.
Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.
Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosx завершается.
Преобразование тригонометрической функции y=tgx.
Пример.
С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить 
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем 
, причем перед коэффициентами и стоит знак «минус».
Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:
Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен . Область определения 
.
Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения остается прежней .
Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен 
. Область определения изменяется на 
.
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.
Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.
Сдвигаем график вправо на 
(примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется 
. Область определения изменяется на 
.
Сдвигаем график вверх на 
(примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgx завершается.
Геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx.
Пример.
Построить график функции 
преобразованием графика y=arccosx.
Решение.
Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций 
Следовательно, 
Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:
Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=arccos(x) .
Отображаем симметрично относительно оси ox .
Сдвигаем вверх на .
Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу.
Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.
Имеем 
, причем перед коэффициентами и знака минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:
Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.
График функции y=arcsinx . Область определения 
. Область значений 
.
Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется . Область значений становится 
.
Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до 
. Область значений не меняется 
.
Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в 
. Область значений не меняется .
Этим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.
Для построения графиков элементарных функций более сложного вида рекомендуем проводить полное исследование функции.
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.