Делимость, признаки делимости

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена.


В этой статье мы изучим простые и составные числа. Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.


Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к целым положительным числам, которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Определение.

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и 1.

Определение.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Отдельно заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Единица имеет только один положительный делитель, которым является само число 1. Этим число 1 отличается от всех остальных целых положительных чисел, которые имеют не менее двух положительных делителей.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Определение.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Определение.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Отметим, что каждое целое положительное число, большее единицы, есть либо простое, либо составное число. Иными словами, не существует ни одного такого целого числа, которое не являлось бы ни простым, ни составным. Это следует из свойства делимости, которое гласит, что числа 1 и a всегда являются делителями любого целого числа a.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Определение.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

Например, числа 2, 3, 11, 17, 131, 523 являются простыми. Несомненно, это далеко не очевидно. Но все наши попытки подобрать какой-либо положительный делитель любого из этих чисел, отличный от единицы и самих этих чисел, закончатся неудачей. Это свидетельствует о том, что записанные числа являются простыми. В последнем пункте данной статьи мы более подробно поговорим о доказательстве простоты данного числа.

В качестве примеров составных чисел приведем 6, 63, 121 и 6 697. Это утверждение тоже нуждается в пояснении. Число 6 имеет кроме положительных делителей 1 и 6 еще и делители 2 и 3, так как 6=2·3, поэтому 6 – действительно составное число. Положительными делителями 63 являются числа 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Число 121 равно произведению 11·11, поэтому его положительными делителями являются 1, 11 и 121. А число 6 697 составное, так как его положительными делителями кроме 1 и 6 697 являются еще и числа 37 и 181.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Таблица простых чисел


Простые числа, для удобства их дальнейшего использования, записывают в таблицу, которую называют таблицей простых чисел. Ниже представлена таблица простых чисел до 1 000.

Возникает логичный вопрос: «Почему мы заполнили таблицу простых чисел только до 1 000, разве нельзя составить таблицу всех существующих простых чисел»?

Ответим сначала на первую часть этого вопроса. Для большинства задач, при решении которых придется использовать простые числа, нам будет вполне достаточно простых чисел в пределах тысячи. В остальных случаях, скорее всего, придется прибегать к каким-либо специальным приемам решения. Хотя, несомненно, мы можем составить таблицу простых чисел до сколь угодно большого конечного целого положительного числа, будь то 10 000 или 1 000 000 000, в следующем пункте мы поговорим о методах составления таблиц простых чисел, в частности, разберем способ, получивший название решето Эратосфена.

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство.

Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a. Докажем, что b – простое число методом от противного.

Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b1), который отличен как от 1, так и от b. Если также учесть, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого (это мы знаем из свойств делимости), то должно выполняться условие 1<b1<b.

Так как число a делится на b по условию, и мы сказали, что b делится на b1, то понятие делимости позволяет говорить о существовании таких целых чисел q и q1, что a=b·q и b=b1·q1, откуда a= b1·(q1·q). Из правил умножения целых чисел следует, что произведение двух целых чисел есть целое число, тогда равенство a=b1·(q1·q) указывает на то, что b1 является делителем числа a. Учитывая полученные выше неравенства 1<b1<b, мы получаем противоречие условию, что b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Теорема.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство.

Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p1, p2, …, pn. Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.

Рассмотрим число, p равное p1·p2·…·pn+1. Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p1, p2, …, pn. Если число p - простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его pn+1). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p1, p2, …, pn.

Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p1·p2·…·pn делилось бы на pn+1. Но на pn+1 делится и число p, равное сумме p1·p2·…·pn+1. Отсюда следует, что на pn+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100, 1 000, 10 000 и т.д.

Решето Эратосфена

Сейчас мы обсудим способы составления таблиц простых чисел. Предположим, что нам нужно составить таблицу простых чисел до 100.

Самым очевидным методом решения этой задачи является последовательная проверка целых положительных чисел, начиная с 2, и заканчивая 100, на наличие положительного делителя, который больше 1 и меньше проверяемого числа (из свойств делимости мы знаем, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого, отличного от нуля). Если такой делитель не найден, то проверяемое число является простым, и оно заносится в таблицу простых чисел. Если же такой делитель найден, то проверяемое число является составным, оно НЕ заносится в таблицу простых чисел. После этого происходит переход к следующему числу, которое аналогично проверяется на наличие делителя.

Опишем несколько первых шагов.

Начинаем с числа 2. Число 2 не имеет положительных делителей, кроме 1 и 2. Следовательно, оно простое, поэтому, заносим его в таблицу простых чисел. Здесь следует сказать, что 2 является наименьшим простым числом. Переходим к числу 3. Его возможным положительным делителем, отличным от 1 и 3, является число 2. Но 3 на 2 не делится, поэтому, 3 – простое число, и его также нужно занести в таблицу простых чисел. Переходим к числу 4. Его положительными делителями, отличными от 1 и 4, могут быть числа 2 и 3, проверим их. Число 4 делится на 2, поэтому, 4 – составное число, и его не нужно заносить в таблицу простых чисел. Обратим внимание на то, что 4 – наименьшее составное число. Переходим к числу 5. Проверяем, являются ли его делителем хотя бы одно из чисел 2, 3, 4. Так как 5 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, то оно простое, и его надо записать в таблицу простых чисел. Дальше происходит переход к числам 6, 7, и так далее до 100.

Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости, которые немного ускорят процесс поиска делителей.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Покажем решето Эратосфена в действии при составлении таблицы простых чисел до 50.

Сначала записываем по порядку числа 2, 3, 4, …, 50.

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Первым следующим за 2 невычеркнутым числом является 3. Это число простое. Теперь от числа 3 последовательно перемещаемся вправо на три числа (учитывая и уже зачеркнутые числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные трем.

Первым следующим за 3 невычеркнутым числом является 5. Это число простое. Теперь от числа 5 последовательно перемещаемся вправо на 5 чисел (учитываем и зачеркнутые ранее числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные пяти.

Дальше вычеркиваем числа, кратные 7, затем, кратные 11 и так далее. Процесс заканчивается, когда не останется чисел для вычеркивания. Ниже показана законченная таблица простых чисел до 50, полученная с помощью решета Эратосфена. Все незачеркнутые числа являются простыми, а все зачеркнутые числа – составными.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от единицы делитель составного числа a не превосходит , где - арифметический квадратный корень из a.

Доказательство.

Обозначим буквой b наименьший и отличный от единицы делитель составного числа a (число b является простым, что следует из теоремы, доказанной в самом начале предыдущего пункта). Тогда существует такое целое число q, что a=b·q (здесь q – положительное целое число, что следует из правил умножения целых чисел), причем (при b>q нарушится условие, что b – наименьший делитель числа a, так как q также является делителем числа a в силу равенства a=q·b). Умножив обе части неравенства на положительное и большее единицы целое число b (это нам позволяют сделать свойства числовых неравенств), получаем , откуда и .

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Во-первых, вычеркивание составных чисел, кратных простому числу b следует начинать с числа, равного (это следует из неравенства ). Например, вычеркивание чисел, кратных двум, следует начинать с числа 4, кратных трем – с числа 9, кратных пяти – с числа 25, и так далее.

Во-вторых, составление таблицы простых чисел до числа n с помощью решета Эратосфена можно считать законченным тогда, когда будут вычеркнуты все составные числа, кратные простым числам, не превосходящим . В нашем примере n=50 (так как мы составляем таблицу простых чисел до 50) и , поэтому решето Эратосфена должно отсеять все составные числа, кратные простым числам 2, 3, 5 и 7, которые не превосходят арифметического квадратного корня из 50. То есть, нам дальше не нужно заниматься поиском и вычеркиванием чисел, кратных простым числам 11, 13, 17, 19, 23 и так далее до 47, так как они уже будут вычеркнуты, как кратные меньшим простым числам 2, 3, 5 и 7.

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Пример.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Решение.

Сумма цифр данного числа равна 9·8+9·9=9·17. Так как число, равное 9·17 делится на 9, то по признаку делимости на 9 можно утверждать, что исходное число также делится на 9. Следовательно, оно составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Самый логичный подход состоит в переборе всех возможных делителей данного числа. Если ни один из возможных делителей не будет истинным делителем данного числа, то это число будет простым, в противном случае – составным. Из теорем, доказанных в предыдущем пункте, следует, что делители данного числа a нужно искать среди простых чисел, не превосходящих . Таким образом, данное число a можно последовательно делить на простые числа (которые удобно брать из таблицы простых чисел), пытаясь найти делитель числа a. Если будет найден делитель, то число a – составное. Если же среди простых чисел, не превосходящих , не окажется делителя числа a, то число a – простое.

Пример.

Число 11 723 простое или составное?

Решение.

Выясним, до какого простого числа могут быть делители числа 11 723. Для этого оценим .

Достаточно очевидно, что , так как 2002=40 000, а 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью сравнение чисел). Таким образом, возможные простые делители числа 11 723 меньше числа 200. Это уже значительно облегчает нашу задачу. Если бы мы этого не знали, то нам бы пришлось перебирать все простые числа не до 200, а вплоть до числа 11 723.

При желании можно оценить более точно. Так как 1082=11 664, а 1092=11 881, то 1082<11 723<1092, следовательно, . Таким образом, любое из простых чисел, меньших 109, потенциально является простым делителем данного числа 11 723.

Теперь мы будем последовательно делить число 11 723 на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Если число 11 723 разделится нацело на одно из записанных простых чисел, то оно будет составным. Если же оно не делится ни на одно из записанных простых чисел, то исходное число простое.

Не будем описывать весь этот монотонный и однообразный процесс деления. Сразу скажем, что 11 723 не делится нацело на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, а на 19 – делится. Вот тому подтверждение в виде деления столбиком:

Следовательно, число 11 723 – составное, так как кроме 1 и самого себя имеет делитель 19.

Ответ:

число 11 723 – составное.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+