Делимость, признаки делимости

Делители и кратные числа, определения и примеры.


В этой статье мы обсудим делители и кратные. Здесь мы дадим определения делителя и кратного числа. Эти определения нам позволят привести примеры делителей и кратных различных целых чисел. Отдельно рассмотрим делители единицы и минус единицы, а также поговорим о делителях и кратных нуля.


Делители числа – определение, примеры

Сначала дадим определение делителя целого числа.

Определение.

Делителем целого числа a называется целое число b, на которое a делится нацело.

Если обратиться к понятию делимости, то озвученному определению делителя можно дать иную формулировку.

Определение.

Целое число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что справедливо равенство a=b·q.

Если целое число b является делителем целого числа a, то говорят, что b делит a, при этом используют краткую запись вида b|a (встречается также обозначение b\a).

Из определения делителя целого числа и свойств умножения целых чисел следует, что любое целое число делится на себя и на единицу, так как a=a·1 и a=1·a. На основании свойств умножения целых чисел можно записать равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует, что числа −a и −1 также являются делителями целого числа a. Таким образом, числа a, −a, 1 и −1 всегда являются делителями целого числа a. Например, делителями числа 15 являются числа 15, −15, 1 и −1.

Отдельно нужно сказать о делителях целых чисел 0, 1 и −1. Вспомнив свойства делимости, заключаем, что делителем нуля является любое целое число, в том числе и нуль, а делителями единицы и минус единицы являются только числа 1 и −1.

Итак, целое число 0 имеет бесконечно много делителей, ими являются любые целые числа, числа 1 и −1 имеют только два делителя – единицу и минус единицу, а любое другое целое число a (кроме −1, 0 и 1) имеет, по крайней мере, четыре делителя: a, −a, 1 и −1.

Приведем еще примеры делителей целых чисел. Число −2 является делителем числа 8, так как верно равенство 8=(−2)·(−4) (при необходимости смотрите статью умножение целых чисел, правила, примеры). Делителями целого числа 8 являются также числа −8, −4, −1, 1, 2, 4, 8. А вот число −3 не является делителем числа 8, так как не существует целого числа q такого, чтобы выполнялось условие 8=(−3)·q. Иными словами, возможно только деление с остатком целых чисел 8 и −3. Вообще, ни одно целое число, кроме −8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8, не является делителем 8.

Из рассмотренных примеров отчетливо видно, что делителями целого числа могут быть как целые положительные, так и целые отрицательные числа. Это утверждение обосновывается следующим свойством делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то −b (b и −bпротивоположные числа) также является делителем числа a. Таким образом, мы можем рассматривать лишь положительные делители чисел, но при этом помнить, что все целые числа, противоположные положительным делителям данного числа, также являются делителями этого числа.

Напомним еще одно свойство делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то b также является делителем целого числа −a. Из него следует, что множества делителей чисел a и −a совпадают. Поэтому, отдавая дань краткости и простоте, мы будем рассматривать лишь делители целых положительных чисел.

Учитывая информацию двух предыдущих абзацев, дальше можно рассматривать лишь положительные делители целых положительных чисел (натуральных чисел).

Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1. Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1. В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа.

Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a, отличного от 1, а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе сравнение трех и большего количества натуральных чисел). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .

Здесь же заметим, что особую роль имеет наибольший общий делитель – НОД.

Кратные числа – определение, примеры


Дадим определение кратного.

Определение.

Кратное целого числа b – это целое число a, которое делится на b нацело.

Иными словами, кратное целого числа b – это такое целое число a, которое может быть представлено в форме a=b·q, где q – некоторое целое число.

Если a является кратным целого числа b, то говорят, что a кратно b. При этом применяют обозначение ab.

Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b, то b – делитель числа a, и наоборот, если b – делитель числа a, то a – кратное числа b.

Приведем примеры кратных. Например, целое число −12 есть кратное числа 3, так как −12=3·(−4). Другими кратными числа 3 являются целые числа 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 и так далее. А вот число 7 не является кратным целого числа 3, так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q, чтобы выполнялось равенство 7=3·q.

Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b, в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.

Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b, так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q, где q – произвольное целое число, является кратным числа b.

Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a. Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.

Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение