Делимость, признаки делимости

Признаки делимости.


Признаки делимости представляют собой некоторые действия, которые позволяют выяснить, делится ли данное целое число a на указанное целое положительное число b, не проводя деление a на b непосредственно. Понятно, что разговор о признаках делимости невозможен без общего представления о делимости.

Признаки делимости обычно предполагают работу не с самим числом a, а с числами, которые составляются из цифр, участвующих в записи числа a.

Некоторые признаки делимости позволяют сделать вывод о делимости числа a на указанное число после анализа одной лишь последней цифры в записи числа. Такими признаками являются, например, признак делимости на 2, признак делимости на 5 и признак делимости на 10. Приведем примеры. Число 78 034 делится на 2, так как последней цифрой в записи этого числа является 4, а числа, оканчивающиеся цифрами 0, 2, 4, 6 и 8 делятся на 2. Число 963 не делится на 5, так как последняя цифра в записи числа 963 отлична и от 5 и от 0. Число 30 020 делится на 10, так как это число оканчивается цифрой 0.


Использование других признаков делимости требует анализа двух, трех или большего количества последних цифр в записи числа. К примеру, признак делимости на 4 подразумевает анализ двузначного числа, составленного из двух последних цифр в записи числа a; при использовании признака делимости на 8 придется анализировать число, образованное тремя последними цифрами в записи числа a. Например, число 98 789 765 012 делится на 4, так как число 12 (оно составлено из двух последних цифр данного числа) делится на 4. А число 57 909 038 не делится на 8, так как три последних цифры данного числа дают 38 (из записи 038 слева убирается нуль), а 38 не делится на 8.

В других случаях приходится оперировать уже всеми цифрами в записи числа. Например, в признаке делимости на 3 и признаке делимости на 9 нужно вычислить сумму всех цифр в записи числа a, после чего проверять делимость вычисленной суммы на 3 и на 9 соответственно (при этом, возможно, придется еще раз использовать указанные признаки делимости). Приведем примеры. Число 1 001 103 делится на 3, так как сумма его цифр равна 1+0+0+1+1+0+3=6, а 6 кратно трем. Число 65 051 991 делится на 9, так как сумма его цифр 6+5+0+5+1+9+9+1=36 делится на 9. И еще пример. Выясним, делится ли число 879 901 831 799 782 998 на 3. Сумма его цифр равна 114, а чтобы выяснить, делится ли 114 на 3, опять применим признак делимости на 3. Сумма цифр числа 114 равна 6, а 6 делится на 3, следовательно, 114 делится на 3, значит, исходное число тоже делится на 3.

Вообще, многие признаки делимости переводят нас от анализа исходного числа a к анализу другого числа, (меньшего, чем a), причем полученное число анализируется с использованием этого же признака делимости. То есть, многие признаки делимости применяются циклически до получения конечного результата.

Некоторые признаки делимости объединяют в себе несколько других признаков. Например, признак делимости на 6 – это объединение признаков делимости на 2 и на 3, а признак делимости на 12 – на 3 и 4. Например, число 78 804 оканчивается на 4 (значит, делится на 2), сумма его цифр равна 27 и 27 делится на 3 (значит, исходное число делится на 3), следовательно, исходное число делится на 6. Число 208 436 316 делится на 12, так как сумма его цифр равна 33, 33 делится на 3, и число 16, составленное из двух последних цифр исходного числа, делится на 4.

Следует отметить, что некоторые признаки делимости требуют проведения значительной вычислительной работы, и иногда намного проще непосредственно разделить число a на число b, что позволит ответить на вопрос, делится ли данное число a на указанное число b или нет.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение