Делимость, признаки делимости

Признак делимости на 9, примеры, доказательство.


Продолжаем изучать признаки делимости. На очереди признак делимости на 9. Сейчас мы дадим его формулировку, разберем примеры его применения для установления делимости на 9 данного целого числа и приведем доказательство признака делимости на 9. В заключение остановимся на доказательстве делимости на 9 значений выражения с переменной при различных значениях переменной.


Признак делимости на 9, примеры

Для начала сформулируем признак делимости на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9; если же сумма цифр числа не делится на 9, то это число не делится на 9.

Из приведенной формулировки понятно, что для использования признака делимости на 9 необходимо знать, как выполняется сложение натуральных чисел. Еще для применения признака делимости на 9 нужно знать, что из однозначных натуральных чисел на 9 делится только число 9, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 на 9 не делятся.

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 9.

Пример.

Какие из чисел 621, −32 112, 222, −331 делятся на 9?

Решение.

Вычислим суммы цифр каждого из данных чисел, имеем 6+2+1=9, 3+2+1+1+2=9, 2+2+2=8 и 3+3+1=7. Так как 9 делится на 9, а 8 и 7 не делятся на 9, то признак делимости на 9 позволяет утверждать, что 621 и −32 112 делятся на 9, а числа 222 и −331 – нет.

Ответ:

621 и −32 112.

В более сложных случаях сумма цифр данного целого числа может быть двухзначным, трехзначным и т.д. числом. Например, сумма цифр числа 945 равна 18, а сумма цифр числа 999 888 777 666 555 равна 105. Для установления делимости на 9 в этих случаях признак делимости на 9 приходится применять несколько раз (точнее приходится несколько раз подряд вычислять суммы цифр получающихся чисел). Рассмотрим это на примере.

Пример.

Делится ли число 876 505 998 872 на 9?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 9. Для этого вычислим сумму цифр данного числа: 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74. А делится ли 74 на 9? Для ответа на этот вопрос вычислим сумму цифр числа 74, имеем 7+4=11, а сумма цифр числа 11 в свою очередь равна 1+1=2. Так как 2 не делится на 9, то по признаку делимости на 9 и число 11 не делится на 9, следовательно, на 9 не делится и 74, а значит, и исходное число.

Ответ:

нет, не делится.

Отметим также, что проверить способность данного числа делиться на 9 можно, непосредственно разделив данное число на 9 (удобнее всего выполнить деление столбиком). Достаточно часто на выполнение непосредственного деления уходит примерно столько же времени, как и на применение признака делимости на 9.

Доказательство признака делимости на 9


Для доказательства признака делимости на 9 нам потребуются несколько вспомогательных результатов. Обговорим их.

Любое натуральное число a мы можем разложить по разрядам, после чего правила умножения натурального числа на 10, 100, 1 000 позволяют нам записать представление числа a вида a=an·10n+an−1·10n−1+…+a2·102+a1·10+a0, где an, an−1, …, a0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a. Так как 10=9+1, 100=99+1=11·9+1, 1 000=999+1=111·9+1, …, то представление числа a примет вид . После небольших преобразований приходим к равенству вида . Сумма представляет собой сумму цифр числа a. Обозначим ее для краткости буквой A, тогда . Это представление числа a мы и будем использовать при доказательстве признака делимости на 9.

Также нам пригодятся два свойства делимости:

Вот теперь можно провести доказательство признака делимости на 9. Для удобства перепишем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 9.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 9 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в записи числа a делилась на 9.

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Для a, отличных от нуля, модуль числа a является числом натуральным, поэтому его можно представить в виде суммы , что мы показали перед теоремой. В выражении содержится множитель 9, а сумма в скобках является натуральным числом при любых an, an−1, …, a1, поэтому в силу свойств делимости указанное выражение делится на 9.

Приступаем к доказательству достаточности. Докажем, что если сумма цифр числа a (которую мы обозначили как A) делится на 9, то число a делится на 9.

Если A делится на 9, то из равенства и второго указанного перед теоремой свойства делимости следует, что модуль a делится на 9, откуда в силу первого указанного перед теоремой свойства делимости следует, что и a делится на 9. Так доказана достаточность.

Переходим к доказательству необходимости. Докажем, что если целое число a делится на 9, то сумма его цифр делится на 9.

Если a делится на 9, то и модуль числа a делится на 9 (по первому указанному перед теоремой свойству делимости). Тогда из равенства и второго указанного свойства делимости следует, что А делится на 9. Так доказана необходимость.

На этом доказательство признака делимости на 9 завершено.

Другие случаи делимости на 9

В этом пункте мы хотим затронуть примеры доказательства делимости на 9, когда число задано в виде значения буквенного выражения при некоторых значениях переменной.

Пример.

Делится ли 10n−1 на 9 при любом натуральном n?

Решение.

Достаточно очевидно, что . Сумма цифр числа равна 9·n, а 9·n делится на 9, следовательно, по признаку делимости на 9 можно говорить о делимости 10n−1 на 9 при любом натуральном n.

Ответ:

да, делится.

Однако во многих случаях воспользоваться признаком делимости на 9 не представляется возможности, также как и выполнить деление на 9. В таких случаях логично попробовать представить исходное выражение в виде произведения нескольких целых множителей, один из которых делится на 9. Покажем два способа получения такого произведения.

Иногда получить произведение нужного вида позволяет формула бинома Ньютона. Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 9 при любом натуральном n?

Решение.

Представим 4 как 3+1, применим формулу бинома Ньютона и проведем преобразования:

При n=1 имеем , а 9 делится на 9. При натуральных n, больших единицы, в полученной сумме можно вынести 9 за скобки, при этом мы придем к произведению . Это произведение делится на 9, так как содержит множитель 9, а значение выражения в скобках при n>1 является натуральным числом. Таким образом, делится на 9 при любом натуральном n.

Ответ:

да, делится

Когда исходное выражение с переменной n задано в виде многочлена, то можно пробовать такой подход. Если доказать, что при n=9·m, n=9·m+1, …, n=9·m+8, где m – целое число, исходное выражение делится на 9, то этим будет доказана делимость исходного выражения на 9 при любом целом n.

Пример.

Докажите, что делится на 9 при любом целом n.

Решение.

Для удобства разложим на множители выражение :

Пусть m – целое число.

При n=9·m получаем . Полученное произведение делится на 9, так как множитель (9·m)2 очевидно делится на 9.

При n=9·m+1 имеем

Полученное произведение делится на 9, так как содержит множитель 9.

Аналогично показывается делимость на 9 выражения при n=9·m+2, n=9·m+3, …, n=9·m+8.

Так доказана делимость на 9 значения исходного выражения при любом целом n.

Наконец, доказать делимость на 9 в некоторых случаях позволяет метод математической индукции. Вот тому подтверждение в виде примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n делится на 9.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции.

При n=1 значение выражения равно 9, и оно, очевидно, делится на 9.

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 9, то есть, будем считать, что делится на 9.

Исходя из предположения предыдущего шага, докажем, что делится на 9 при n=k+1.

Имеем

В полученной разности делится на 9, так как мы предположили на предыдущем шаге, что делится на 9; а тоже делится на 9, так как содержит множитель 9. Следовательно, и вся разность делится на 9, а значит и значение выражения при n=k+1 делится на 9.

Так методом математической индукции доказано, что делится на 9 при любом натуральном n.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение