Делимость, признаки делимости

Признак делимости на 8, примеры, доказательство.


В этой статье подробно разобран признак делимости на 8. Сначала приведена его формулировка и рассмотрены примеры использования признака делимости на 8. Дальше показано доказательство этого признака делимости. В заключение мы остановимся на доказательстве делимости на 8 значений выражений при некоторых значениях переменной.


Признак делимости на 8, примеры

Формулировка признака делимости на 8 такова: если число, составленное из трех последних цифр в записи целого числа a (в порядке их следования), делится на 8, то и число a делится на 8; если же это число, составленное из трех последних цифр, не делится на 8, то и число a не делится на 8.

Из приведенной формулировки признака делимости на 8 понятно, что этот признак применяется лишь для четырехзначных, пятизначных и так далее чисел (при необходимости смотрите многозначные натуральные числа), причем этот признак сводит проверку делимости данного числа к проверке делимости соответствующего трех, двух или однозначного числа. А чтобы установить делимость на 8 однозначных, двузначных и трехзначных чисел, можно выполнить деление этих чисел на 8 непосредственно.

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 8.

Пример.

Делится ли число 58 296 на 8?

Решение.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, воспользуемся признаком делимости на 8. Три последние цифры числа 58 296 дают число 296. Выясним, делится ли оно на 8, удобнее всего провести деление столбиком:

Итак, 296 делится на 8, следовательно, на 8 делится и исходное число 58 296.

Ответ:

да.

Отдельно следует остановиться на применении признака делимости на 8 в случаях, когда три последние цифры в записи числа дают, например, 024, 086, 002, 008. В этих случаях нужно отбросить нули слева, после чего проверять делимость на 8 полученных двузначных или однозначных чисел.

Пример.

Используя признак делимости на 8, покажите, что число 920 072 делится на 8.

Решение.

Три последние цифры исходного числа дают 072, им соответствует число 72. Из таблицы умножения мы знаем, что восемью девять равно семидесяти двум, следовательно, 72 делится на 8. Тогда признак делимости на 8 позволяет нам утверждать, что 920 072 делится на 8.

Пример.

Какие из чисел −900 007, 21 008, −111 008 и 732 237 001 делятся на 8, а какие – нет?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 8. Посмотрим на три цифры справа у каждого из данных чисел: 007, 008, 008 и 001. Им соответствуют однозначные числа 7, 8, 8 и 1 соответственно. Из этих чисел 7 и 1 на 8 не делятся, поэтому −900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся. А так как 8 делится на 8, то числа 21 008 и −111 008 делятся на 8.

Ответ:

−900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся, а 21 008 и −111 008 делятся на 8.

Наконец, если справа в записи целого числа три цифры (или большее их количество) являются нулями, то такие числа делятся на 8. Например, числа 23 000, −980 000, 233 210 203 000 и т.п. делятся на 8. Докажем это утверждение.

Во-первых, тысяча делится на 8, так как 1 000=8·125.

Теперь рассмотрим натуральное число a, в записи которого справа находятся три цифры 0 подряд. Тогда правило умножения натуральных чисел на 1 000 позволяет число a представить как a=a1·1 000, где число a1 получается из числа a, если в его записи отбросить три цифры справа. Так как 1 000 делится на 8, то произведение a1·1 000 тоже делится на 8 (смотрите свойства делимости), следовательно, на 8 делится и число a.

Так мы доказали делимость любого натурального числа a на 8, если в записи числа a справа находятся три цифры ноль подряд. А свойства делимости позволяют распространить это утверждение от натуральных a на целые числа a.

Доказательство признака делимости на 8


Провести доказательство признака делимости на 8 нам поможет следующее представление натурального числа a. Любое четырехзначное, пятизначное и т.д. натуральное число a можно представить в виде a=a1·1 000+a0, где число a1 получено из числа a отбрасыванием трех последних цифр в его записи, а число a0 соответствует трем последним цифрам в записи числа a. Для пояснения приведем пример такого представления: 234 698=234·1 000+698.

Также при доказательстве признака делимости на 8 мы используем два свойства делимости:

Наконец, можно переходить к доказательству признака, который мы для удобства переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 8.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 8 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее трем последним цифрам в записи числа a, делилось на 8.

Доказательство.

Пусть a целое число, запись которого состоит из четырех, пяти или большего количества знаков. Модуль числа a – есть число натуральное, поэтому мы его можем представить в виде (об этом мы сказали в самом начале этого пункта).

Докажем необходимость. Пусть a делится на 8, покажем, что число, составленное из трех последних цифр в записи числа a, делится на 8. То есть, покажем, что a0 делится на 8.

Так как a делится на 8, то модуль a тоже делится на 8 (по первому свойству делимости, указанному перед теоремой). Тогда, учитывая, что в равенстве произведение a1·1 000 делится на 8 (это мы показали в конце предыдущего пункта), из второго свойства делимости, упомянутого перед теоремой, заключаем, что a0 делится на 8. Так доказана необходимость.

Переходим к доказательству достаточности. Пусть a0 делится на 8, покажем, что в этом случае a делится на 8.

Так как в равенстве произведение a1·1 000 делится на 8 и a0 делится на 8, то модуль a делится на 8, а следовательно, и само число a. Этим доказана достаточность и весь признак делимости на 8.

Другие случаи делимости на 8

Признак делимости на 8, также как и непосредственное деление, часто не позволяют установить делимость на 8 числа, которое задано не в явном виде, а как значение некоторого буквенного выражения. В этом пункте мы хотим дать несколько способов решения подобных задач.

Наиболее естественно представить заданное буквенное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых делится на 8. Тогда по соответствующему свойству делимости на 8 будет делиться и все произведение. Рассмотрим по очереди два подхода к получению произведения требуемого вида.

Во-первых, к произведению иногда помогает прийти бином Ньютона. Покажем это на примере.

Пример.

Делится ли значение выражения при натуральных n на 8?

Решение.

Представим 9 как 8+1 и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 8, так как имеет множитель 8, а значение выражения в скобках является натуральным числом при натуральных n. Следовательно, значение исходного выражения делится на 8 при любом натуральном n.

Ответ:

да.

Во-вторых, иногда исходное выражение удается разложить на множители (или оно уже дано в виде разложения на множители). Если при этом показать, что значение выражения (с переменной n) при n=8·m, n=8·m+1, …, n=8·m+7, где m – целое число, делится на 8, то и исходное выражение делится на 8 при любом целом n.

Пример.

Докажите, что n5+7·n3 при любом целом n делится на 8.

Решение.

Разложим исходное выражение на множители: .

При n=8·m имеем . При любом целом m значение полученного произведения делится на 8, так как содержит множитель 83, делящийся на 8.

При n=8·m+1 получаем

Значение полученного произведения также делится на 8 при любом целом m, так как содержит множитель 8.

Аналогично при n=8·m+2, n=8·m+3, …, n=8·m+7 получаем произведения, делящиеся на 8.

Этим доказано, что значение исходного выражения делится на 8 при любом целом n.

Еще при доказательстве делимости на 8 бывает полезным метод математической индукции. Разберем его применение на первом примере из этого пункта.

Пример.

Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n значение выражения делится на 8.

Решение.

Проверим, делится ли при n=1 значение исходного выражения на 8: , а 16 делится на 8.

Предположим, что значение выражения при n=k делится на 8, то есть, будем считать, что делится на 8.

Исходя из предположения, что делится на 8, докажем, что значение исходного выражения делится на 8 при n=k+1.

Получаем
.

В полученной разности значение выражения делится на 8, так как делится на 8; произведение также делится на 8, так как содержит множитель 8. Следовательно, полученная разность делится на 8, откуда следует делимость на 8 и .

Там методом математической индукции доказана делимость на 8 при любом натуральном n.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+